16. Парная линейная корелляция

Это простейшая корелляционная связь между двумя признаками. Практическое значение ее в том, что существует много систем, в которых среди фактором, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший, который в основном и определяет вариацию результативного признака.

Значение парной линейной корелляции в том, что она представляет собой необходимый этап в изучении сложных многофакторных связей.

Линейный характер связи проявляется при ограниченной вариации переменных, а кроме того, в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной корелляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид: ỹ=a+bx; ỹ-среднее значение результативного признака y при определенном значении факторных x; a-свободный член уравнения, показывает усредненное влияние на результативный признак остальных невыделенных факторов; b-коэффициент регрессии, измеряет среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на 1 единицу его измерения, т.е. вариация y, приходящаяся на 1 вариации x.

Параметры уравнения (a и b) находятся с помощью метода наименьших квадратов, по данным изучаемой совокупности, состоящей из …….., т.е.проводят выравнивание эмпирических, опятных данных.

a= -b

(1) или b= (2) Применение той или иной формулы зависит от наличия данных, т.е. если уже вычислены и * , , то (1). Если только первичные данные , , то (2), удобна при слабой вариации признаков.

Коэффициент регрессии b имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака x и вариацией результативного признака y. Он измеряет среднее по совокупности отклонение y от его средней величины и отклонения x от своей средней на единицу измерения, так коэффициент регрессии показывает, к какому изменению средней величины результативного признака приводит изменение факторного признака на 1 единицу,в %.

Теснота парной линейной корелляции, как и любой другой, может быть измерена корелляционным отношением η. Кроме него применяется другой показатель-коэффициент корелляции . Это стандартизованный коэффициент регрессии, выраженный не в абсолютных единицах измерения признака, а в долях среднего квадратичного отклонения результативного признака.

= b = =

Но проще всего по формуле: =

Интерпретация такова- отклонение признака-фактора от его среднего значения на величину среднего квадратичного отклонения в среднем по совокупности приводит к отклонению признака результата от своего среднего значения на от его среднего квадратичного отклонения.

Ч может принимать значения от 0 до 1 по абсолютной величине, чем ближе к 1, тем теснее связь, если Ч<0,3-связь отсутствует;0,3<Ч<0,5-слабая связь;0,5<Ч<0,7-связь средняя;0,7<Ч<1-связь тесная(сильная).

Знак при Ч указывает на направление связи: «+»-прямая,«-»-обратная.

В отличие от коэффициента регрессии b, коэффициент корелляции не зависит от принятых единиц измерения признаков, а поэтому сравним для любых признаков.

-коэффициент детерминации, интерпретируется как доля общей дисперсии результативного признака y, которая объясняется вариацией признака фактора x.

Математически легко доказывается, что в случае линейной зависимости корелляционное отношение может быть заменено = b ,а если связь не линейная, то лучше пользоваться корелляционным отношением, т.к. Ч будет неточный, а в случае линейной можно пользоваться и тем, и другим.

Множественная(многофакторная) регрессия и корелляция

Множественная регрессия- это изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками.

Построение моделей множественной регрессии включает этапы:

1.Выбор формы связи(уравнение регрессии);

2.Отбор факторных признаков;

3.Обеспечение достаточного объема совокупности для получения несмещенных(точных) оценок.

Выбор формы связи осуществляется на основе логического анализа, можно построить поле корелляции. Основное значение имеют линейные модели, нелинейные приводятся к линейным путем линеализации.

Отбор факторов может быть произведен интуитивно- логически(эвристические методы) или многомерными статистическими методами анализа(наиболее распространен шаговый регрессионный анализ).

Теснота связи характеризуется коэффициентом множественной корелляции(совокупный коэффициент корелляции).Для 2х факторов: , где

Ч-парные коэффициенты корелляции.

Рассчитываются частные коэффициенты корелляции, которые служат для оценки вклада во множественный коэффициент корелляции каждого из факторов.

Оценка существенности связи

Проводится проверка адекватности модели, значимости коэффициента регрессии и значимости коэффициента корелляции.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F-критерия по специальным таблицам с помощью средней величины ошибки аппроксимации: = , не должно превышать 12-15%.

Для коэффициента корелляции применяется t-критерий Стьюдента: t= , -средняя ошибка, = = . = .

Если вычисленная будет > ( ) t-критерия Стьюдента при количестве степеней свободы (n-2) при заданном уровне значимости α и объеме выборки, то делается вывод о достоверности Ч.