4. Процессы распространения теплоты в ограниченных телах

4.1. Источники тепла в пластине

При рассмотрении процессов распространения теплоты в неограниченных телах не учитывали влияние границ тела. Свариваемые изделия всегда имеют ограниченные размеры, поэтому необходимо учитывать влияние отражения от границ тела теплоты на температурное поле. Границы тела можно считать не пропускающими теплоты, т. е. адиабатическими.

Движение источника вблизи края пластины

Линейный источник теплоты перемещается на расстоянии у₀ от края пластины (рис. 4.1). Считая границу I - I адиабатической, создадим отражение теплоты от нее. Это можно достигнуть, если предположить, что пластина бесконечна и в ней движутся одновременно и с одинаковой скоростью два источника одинаковой мощности. Расстояние между действительным и фиктивным источниками равно 2y₀. Распределение температуры в произвольном сечении от действительного q₁ и фиктивного q₁' источников теплоты в бесконечной пластине показано штриховыми линиями 1 и 1'. Распределение температуры с учетом отражения теплоты от границы I-I представляет собой сумму температур от действительного и фиктивного источников теплоты и показано на рисунке сплошной линией.

Рис. 4.1. Схема введения дополнительного движущегося источника q' для учета отражения теплоты от границы I-I

Температура в точке А определяется согласно уравнению (3.31) следующей формулой:

, (4.1)

где ; .

С помощью таких же приемов определяется температура при движении точечного источника теплоты вблизи края массивного тела.

Нагрев двух узких пластин

При нагреве двух узких пластин, каждая из которых имеет ширину у₀ , отражение теплоты приближенно можно учесть, вводя два дополнительных фиктивных источника (рис. 4.2, а). Температура точки А определяется как сумма температур от трех источников, действующих в бесконечной пластине согласно уравнению (3.31). Для весьма узких пластин необходимо вводить много кратное отражение теплоты от границ.

Нагрев от края тела

Весьма распространенным случаем является нагрев пластины, когда источник теплоты начинает свое движение от ее края (рис. 4.2, б). Помимо того, что здесь происходит процесс теплонасыщения, наблюдается также отражение теплоты от границы I – I. Учет отражения, если это необходимо, может быть выполнен путем введения фиктивного источника теплоты, который начинает движение одновременно с действительным источником теплоты из точки О, перемещаясь в противоположном направлении.

Рис. 4.2. Схемы введения дополнительных источников для учета отражения теплоты от границ тела: а – при сварке узких пластин; б – при сварке от края тела; в – при движении точечного источника теплоты на поверхности плоского слоя (пластины); г – номограмма для определения F(z, τ)

Оба источника теплоты действуют в бесконечной пластине. Температура в точке А определится, как сумма температур от действительного и фиктивного источников теплоты.

Нагрев пластины точечным источником, движущимся на ее поверхности

Этот случай близок к наплавке валика на пластину. В зависимости от толщины расчет температуры ведут по одной из трех схем. Если пластина тонкая, то предполагают, что источник выделяет теплоту равномерно по толщине листа и расчет производят как для линейного источника теплоты в пластине. В толстых плитах отражением теплоты от нижней границы пренебрегают и расчет ведут по схеме точечного источника теплоты на поверхности полубесконечного тела. Наконец, если пластина не удовлетворяет первым двум схемам, то выбирают схему плоского слоя с точечным источником теплоты на поверхности (рис. 4.2, в). Принимают, что обе поверхности не пропускают теплоту.

Действительный точечный источник теплоты принимают перемещающимся по поверхности полубесконечного тела. Для учета отражения теплоты источника О от границы I вводят фиктивный точечный источник теплоты О₁ на поверхности полубесконечного тела.

В свою очередь теплота фиктивного источника О₁ будет отражаться от плоскости II, что должно быть учтено расчетной схемой. С этой целью вводят фиктивный источник О₂ на расстоянии 2 от плоскости II. Однако теплота источника О₂ будет отражаться от границы I, что требует введения фиктивного источника О₃. Этот процесс может быть продолжен до бесконечности.

Рис. 4.3. Коэффициент т, выражающий отношение температуры на поверхностях плоского слоя, нагреваемого точечным источником теплоты, к температуре пластины, нагреваемой линейным источником теплоты. Для z=0 m>1, для z= m<1

Суммирование температурных полей от всех точечных источников мощностью q, перемещающихся со скоростью υ в предельном состоянии, дает уравнение

, (4.2)

где n – целые числа от - до +.

R²_n = x² + y² + (z - 2n)². (4.3)

Численное определение температуры производят по формуле

(4.4)

с помощью номограммы для коэффициента m.

Номограмма для определения коэффициента m, соответствующего верхней и нижней плоскости плоского слоя, показана на рисунке 4.3.

Характер температурного поля в плоском слое (рис 4.4) в общем случае позволяет выделить три зоны. В зоне I прилегающей к источнику теплоты, распределение температуры мало отличается от распределения в полубесконечном теле. В зоне III, находящейся от источника теплоты обычно на расстоянии, равном нескольким толщинам пластины, температура по толщине пластины выравнена и температурное поле приближается к полю линейного источника теплоты в пластине. Зона II является переходной зоной. Соотношение между размерами трех зон может изменяться в зависимости от режима сварки и свойств материала.

Пример 9. На стальной лист толщиной 1.8 см наплавляют валик, мощность источника q=4000 Дж/с, скорость его перемещения υ = 3,6м/ч = 0,1 см/с; теплофизические коэффициенты =0,04 Дж/смсград, а = 0,09 см²/с.

Рассчитать температуру предельного состояния в точках А и В, находящихся на верхней и на нижней плоскостях на расстоянии 2.0 см позади источника теплоты по оси его движения.

Координаты точки А: х= -2 см; у=0; z=0; r=2 см; точки В: х= -2 см; y=0; z = 2 см; r=2 см. Используем формулу (4.3).

Для определения коэффициента т вычисляем значения критериев:

;

Для точки А значение т находим при z=0 по кривой в верхней части графика на рисунке 4.3; m_A=1,1. Для точки В значение т находим при z = δ по кривой в нижней части графика: m_B =0,9.

Рис. 4.4. Температурное поле предельного состояния при наплавке на лист толщиной 2 см: q = 4000 Дж/с; υ = 0,1 см/с; =0,04 Дж/смсград; а = 0,1 см²/с; а – изотермы и кривые максимальных температур на верхней (z=0) и нижней (z=) плоскостях пластины; б – изотермы и кривая максимальных температур в продольной плоскости xOz; в – изотермы и линии теплового потока в поперечной плоскости yOz

Температуру предельного состояния определяем по схеме пластины с равномерным по толщине выделением теплоты, т. е. по формуле (3.30) при x= –2 см; r=2 см. Эта температура входит как сомножитель т во вторую часть формулы (4.4):

,

.

Температура точки А верхней плоскости t_А = m_А t= 1,1∙967 = 1073° С.

Температура точки В нижней плоскости t_в = т_в t = 0,9∙967 = 870° С.

На расстоянии 2 см позади источника теплоты разность температур по толщине листа составляет 1073 - 870=203° С.