3.9. Мгновенные нормально-распределённые источники теплоты

Мгновенный нормально-круговой источник тепла в пластине

В рассмотренных ранее случаях источники теплоты считались сосредоточенными. Некоторые сварочные источники теплоты, такие как газовое пламя, плазменная струя, световой луч и др. не сосредоточенные, а обладают распределенностью теплового потока по нормальному закону. Процессы распространения теплоты в этом случае зависят от типа источника.

Мгновенный нормально-круговой источник с эффективной мощностью q и коэффициентом сосредоточенности k приложен к поверхности пластины толщиной δ с поверхностью, не пропускающей тепла (рис. 3.29). Центр нормально-кругового источника находится в точке с, совпадающей с началом координат 0. Мгновенное распределение удельного теплового потока источника выразится нормальным законом

, (3.43)

где q_2(r) – удельный тепловой поток в любой точке нагреваемой поверхности, ;

q_2m – наибольший удельный тепловой поток на оси источника нагрева, ;

r – радиальное расстояние данной точки от оси источника нагрева, м;

k – коэффициент сосредоточенности, м ^-2.

Рис.3.29. Схема нагрева пластины поверхностным нормально-круговым источником тепла

Рассмотрим мгновенный нагрев пластины нормально-круговым источником. За время dτ элемент площади dF′, находящийся на расстоянии r от центра пламени С, получит количество тепла

. (а)

Ввиду малой толщины пластины δ введенное через элемент площади dF тепло мгновенно распространится по толщине δ и равномерно нагреет объем dF·δ. Мгновенное повышение температуры элементарного объема dF·δ составляет

, (б)

Из уравнений (б) следует, что мгновенный нормально-круговой источник вызывает в пластине элементарное повышение температуры, также распределенное по нормальному закону.

Подберем теперь фиктивный сосредоточенный источник, тепло которого Q, распространяясь по пластине в течение времени τ₀, приводит к такому же распределению температуры, которое было вызвано заданным нормально-круговым источником. Таким фиктивным источником является линейный источник, распределенный равномерно по отрезку 00´, проходящий через центр с. Распределение температуры oт такого источника в момент τ₀

. (в)

Подбирая соответствующим образом длительность распространения фиктивного источника и его количество тепла Q, можно обеспечить совпадение распространения (в), вызванного фиктивным источником, с распределением (б), вызванным нормально-круговым источником. Сначала приравниваем показатели

экспоненциальных функций , откуда

. (3.44)

Длительность распространения фиктивного сосредоточенного источника τ₀ называется постоянной времени при нагреве металла нормально-круговым источником. Измеряется τ₀ в секундах и зависит от химического состава металлов, характера распределения тепла и от температуропроводности a металла.

Теперь приравниваем первые сомножители уравнений (в) и (б).

Q , (г)

Тогда

. (д)

Здесь Q – количество тепла, вводимое фиктивным сосредоточенным линейным источником на оси 00₁, проходящим через центр нормального кругового источника.

Учитывая, что и , получим

. (3.45)

Из уравнения (3.45) следует, что мгновенное количество тепла, которое нужно сосредоточить на центральной оси, равно количеству тепла, вводимому нормально-круговым источником за время dτ.

Процесс распространения в пластине без теплоотдачи тепла мгновенного нормально-кругового источника можно записать формулой

, (3.46)

где τ – время от момента приложения нормально-кругового источника;

τ₀ – длительность распространения фиктивного сосредоточенного источника.

С учетом теплоотдачи в течение времени τ температура в пластине определяется по формуле

. (3.47)

Мгновенный нормально-круговой источник на поверхности полубесконечного тела

Нормально-круговой источник с эффективной мощностью q и с коэффициентом сосредоточенности k приложен мгновенно в момент τ=0 к поверхности полубесконечного тела, не обменивающейся теплом с окружающей средой (рис. 3.30).

Рис. 3.30. Схема нагрева полубесконечного тела поверхностным нормально-круговым источником тепла

Центр мгновенного источника С совмещен с началом 0 прямоугольной системы координат xyz. В начальный момент τ=0 к элементу площади dF в точке В(х',у') поверхности тела приложено количество тепла dQ.

Нагрев полубесконечного тела мгновенным нормально-круговым источником рассматривается по аналогии с процессом распространения теплоты от мгновенного точечного источника теплоты на поверхности полубесконечного тела. При этом принимается, что в течение времени τ₀ теплота распространяется только по поверхности тела, а затем продолжает распространяться и в глубину в направлении оси 0z.

В этом случае температурное поле определяется уравнением

, (3.48)

где r – расстояние точки, находящейся на поверхности тела, от центра источника нагрева; z – ордината точки, находящейся внутри тела.

Выражение (3.48) представляет произведение выражений (3.6) и (3.46) линейного и плоскорадиального процессов распространения тепла.

Нагрев пластины подвижным нормально-круговым источником

Непрерывно действующий нормально-круговой источник с эффективной мощностью q и коэффициентом сосредоточенности k перемещается по поверхности пластины толщиной δ. Центр источника С, совпадающий в начальный момент времени τ=0 с началом 0₀ координатной системы x₀y₀z₀, перемещается по оси 0₀x₀ на поверхности пластины со скоростью υ (рис.3.31).

Рис. 3.31. Схема нагрева пластины поверхностным подвижным нормально-круговым источником теплоты

В момент τ расстояние центра источника С от начала координат 0 равно υτ.

Участок пути 0₀С разобьем на элементы υ'dτ'. Мгновенный нормально-круговой источник с центром в точке 0', приложенный в момент τ' на расстоянии υdτ от точки 0₀, распространяясь по пластине в течение τ"=τ·τ', вызовет к моменту τ в точке А(x₀,y₀) элементарное повышение температуры согласно уравнению (3.46):

, (а)

где .

По принципу наложения температура в момент τ действия непрерывного нормально-кругового подвижного источника равна сумме температур dτ от всех элементарных количеств тепла dQ, выделившихся за время τ действия источника на всем пути 0₀С его перемещения.

. (б)

Введем подвижную систему координат х0у с началом в точке 0, находящейся на расстоянии v´τ₀ впереди центра источника С. Заменим переменные:

; y₀=y; z₀=z; τ'" = τ-τ'+τ₀; тогда

; dτ"'=-dτ'.

После подстановки переменных и преобразования показателя экспоненты уравнение (б) примет вид

, (3.49)

где r²=х²+у² - радиус вектор точки А относительно подвижных координат О.

Интеграл выражения (3.49) может быть выражен через коэффициент теплонасыщения ψ₂(ρ₂,τ)

,(3.50)

где ; и – безразмерные критерии процесса; К_о (ρ₂) – функция Бесселя от мнимого аргумента.

Подставляя критерии в уравнение (3.49), получим уравнение процесса нагрева

, (3.51)

Вычислим температуру точек, лежащих на оси фиктивного сосредоточенного линейного источника, т. е. на центральной оси Оz.

Для расчёта температуры точек оси Oz пластины воспользуемся выражением (3.41), положив r = 0; x = 0.

(3.52)

Интеграл (3.52) можно выразить через интегрально-показательную функцию E_i(-u), определяемому выражением:

(3.53)

Таблица и график этой функции даны в [9].

Положив в интеграле (3.52) , получим

. (а)

Подставив (а) в выражение (3.52), получим температуру точек фиктивного линейного источника:

. (3.54)

В предельном состоянии нагрева, т. е. при τ → ∞, температура точек фиктивного источника, т. е. оси Oz:

(3.55)

Так как E_i(-∞) = 0.

Предельная температура точек оси Oz, совпадающей с фиктивным линейным источником, в пластине, нагреваемой подвижным нормально-круговым теплообменным источником, пропорциональна отношению мощности источника q к толщине пластины δ, обратно пропорциональна коэффициенту теплопроводности и уменьшается с увеличением безразмерного критерия.

(3.56)

где α₁ и α₂ – коэффициенты теплообмена верхней (нагреваемой) и нижней (ненагреваемой) поверхности пластины.

Пример 8. Листы из низкоуглеродистой стали толщиной 0.2 см сваривают встык пламенем горелки со скоростью υ = 6м/ч = 0.167 см/с. Определить предельную температуру центральной оси пластины Oz, т. е. точек, лежащих на оси фиктивного источника.

Теплофизические коэффициенты низкоуглеродистой стали следующие: λ = 0.4Дж/см∙с∙град; а = 0.09см²/с; cρ = 4.5 Дж/см³∙град; α = 6∙10^-3Дж/см²∙с∙град.

Коэффициент сосредоточенности пламени газовой горелки К = 0.35 1/см², эффективная тепловая мощность 1334 Дж/с.

Коэффициент температуроотдачи 1/с.

.

Принимаем α₁ = α₂.

[9]

с;