Вопрос4.

Дифференциал функции двух переменных

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М₀(х₀,у₀) частные производные f ^/_x (х₀,у₀) и f ^/_у (х₀,у₀).

О. Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) называется разность

 

Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде

где , то функция называется дифференцируемой в точке M ₀ (х₀,у₀).

О. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения     , линейная относительно приращений её аргументов  . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно     . Таким образом,

Уровень 2. Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако можно записать

а это означает непрерывность функции в точке (х₀,у₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, о функции, дифференцируемой в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

Так как

 дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

Вопрос5.

Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия.

Основные сведения из теории

Необходимые условия экстремума. Функция z=F(x,y) может иметь экстремум только в точках, в которых

Эти точки называются стационарными.

Достаточные условия экстремума. Обозначим через А,В и С значения производных в стационарной точке (x₀;y₀); тогда, если

1) Δ=АС – В²>0, то F(x₀,y₀)= z_max при А<0 (или С<0) и F(x₀,y₀)=z_min при А>0 (или C>0);

2) Δ=АС – В2<0, то в точке (x₀,y₀) нет экстремума;

3) Δ=0, то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в точке (x₀,y₀) требуется дальнейшее исследование, например, по поведению приращения ΔF вблизи этой точки.

Пример 1. Найти экстремум функции z=x³+8y³-6xy+5.

Решение. Находим частные производные первого порядка и и стационарные точки, в которых они одновременно равны нулю или не существуют и которые лежат внутри области определения функции:

Решая систему уравнений

найдем стационарные точки:

Отсюда или стационарные точки.

Других стационарных точек нет, т.к. и существуют при любых значениях x и y. Далее исследуем критические точки М₁и М₂ с помощью определителя Δ, составленного из частных производных второго порядка:

Для точки М₁ получим А=0, В=-6, С=0 и Δ(М₁)=АС – В²<0. Следовательно, согласно достаточному условию, в точке М₁ нет

экстремума.

Для точки M₂ имеем A=6, B=-6, C=24 и Δ(M₂) > 0. Согласно достаточному условию, M₂ есть точка минимума, z_min= z (M₂)=4.

Функция F (x,y), непрерывная в некоторой ограниченной замкнутой области D, обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются или в точках экстремума, лежащих внутри области D, или на границе области.

Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции F (x,y) в ограниченной замкнутой области D, можно руководствоваться следующим правилом:

I. Найти критические точки, лежащие внутри области D и вычислить значения функции в этих точках (не исследуя, будет ли в них экстремум и какого вида).

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области D.

3. Сравнить полученные значения функции: самое большее (меньшее) из них и будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области D.