Сумма работ всех активных сил равнялась нулю на любом возможном перемещении, задаваемом из предполагаемого положения равновесия системы.

Доказательство:

F – внешние силы

R – силы реакции

Просуммируем по всем точкам тела:

т.к. , то

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ:

Для того, чтобы механическая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы возможная мощность всех активных сил на любых возможных скоростях была равна нулю.

ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В положении равновесия консервативной механической системы потенциальная энергия имеет стационарные значения.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ:

В любой момент движения материальной системы, находящейся под действием активных сил, и на которую наложены идеальные удерживающие стационарные голономные связи, сумма работ активных сил и сил инерции, действующих на все точки системы на любом возможном перемещении, равна нулю.

Доказательство:

т.к.

ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

В аналитической механике декартовы координаты заменяются другими параметрами, имеющими любую размерность и геометрический (физический) смысл – углы, площади, дуги и т.п.

Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют её положение, называются обобщёнными координатами.

Обобщёнными силами называют такие величины, произведение которых на соответствующую обобщённую координату имеет размерность работы:

где Q – обобщённая сила, А – работа, q_i – обобщённая координата.

- Если в системе движение невозможно, то у неё нет ни одной степени свободы

- Если возможно – мысленно фиксируем какую-либо одну меняющуюся координату. Если после этого движение стало невозможным – у системы 1 степень свободы.

- Если возможно – фиксируем вторую координату; и так до тех пор, пока тело не остановится.

ВЫРАЖЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ:

Пусть имеется система, подчинённая голономным идеальным удерживающим связям и её положение в пространстве определяется координатами q₁; q₂ и т.д. Тогда общее уравнение динамики будет выглядеть следующим образом:

где Q_i – обобщённая активная сила; Q_i^ин – обобщённая сила инерции; δq_i – обобщённая координата

УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА 2 РОДА

Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы:

где Т – кинетическая энергия системы в абсолютном движении; – обобщённая координата; – обобщённая скорость; Q_i – обобщённая скорость по обобщённой координате.

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ.

Циклические координаты – это те обобщённые координаты, которые не входят ни в выражение кинетической энергии, ни в выражение потенциальной энергии.

L – разность кинетической и потенциальной энергии.

Для циклической обобщённой координаты q_i уравнение Лагранжа имеет следующий вид:

где - циклический интеграл

Аналитическая механика после Лагранжа получила большое развитие и применение в различных областях науки и техники; её методы особенно широко применяются в теории колебания систем и в квантовой механике.