Температурное поле и плотность теплового потока в цилиндрической стенке.

r₁ Заданы: r₁, r₂ ; (t)

r₂ ; ;

z t₁

По координате z цилиндрическая стенка

t₂ бесконечна.

Заданы граничные условия первого рода:

Все температуры по длине цилиндра = const

^{- задача превратилась в одномерную.}

Это условие вместе с граничными условиями есть математическая постановка задачи.

Так как ;

Рассмотрим два геометрических тела:

1) Сплошной цилиндр:

Общее количество тепла с единицы длины равно

l выделяемому теплу, умноженному на объём

цилиндра:

_{где r0 – радиус цилиндра.}

2) Цилиндрическая стенка без внутренних источников тепла:

В цилиндрической стенке линейная плотность теплового потока при граничных условиях первого рода и отсутствии внутренних источников тепла есть величина постоянная, не зависящая от координат.

плоская стенка

цилиндрическая стенка

Следствие: плотность теплового потока на единицу поверхности уменьшается при увеличении радиуса.

; проинтегрируем:

умножим обе части на

Эта величина называется линейным термическим сопротивлением

цилиндрической стенки.

R R_l

Линейная плотность теплового потока для многослойной цилиндрической стенки.

^{; … ;}

т ак как

п олное линейное термическое сопротивление многослойной

цилиндрической стенки.

Температурное поле:

Уравнение теплопроводности после первого интегрирования:

^{Пусть (не зависит от температуры)}

Подставляя в это выражение значение для q_l, получим:

^{температурное поле в однослойной стенке.}

^{Т ак как плотность теплового потока уменьшается с увеличением радиуса, то кривая имеет следующий вид:}

t₁ t₂

t₂

t₃

t₁

t₄

Обоснование подобного вида кривой следует из понятия производной и касательной к графику функции. Из математики известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функции в некоторой точке есть значение производной этой функции в данной точке. Из теории тепломассообмена

_{известно, что: .}

t Если провести к этому графику множество касательных, то при увеличении координаты r угол  уменьшается.

t₁

^(*)

t₂ Как было сказано выше, поток тепла q

r с увеличением радиуса r уменьшается.

 Если значение  не изменяется, то из

выражения (*) следует что значение

так же уменьшается.

И з графика видим, что уменьшение значения  а значит и при увеличении r возможно только при данном поведении кривой (кривая вогнутая а не выпуклая).

Какое температурное поле в i- том слое?

О пределим граничные значения температур: