Решение стационарных задач теплопроводности. Температурное поле и тепловые потоки в плоской стенке

1. Предполагаем, что внутренние источники (стоки) тепла отсутствуют:

2. Предполагаем, что стенка бесконечна по осям y и z.

z

- постоянная толщина

к плоскости стенки

x t₁

y

t₂

0 x

З аданы граничные условия первого рода:

(по всей плоскости)

Искомые величины: t(x), q(x).

В бесконечной плоской стенке поле температур меняется в одном направлении – задача одномерная:

Уравнение теплопроводности для нашего случая будет выглядеть следующим образом:

^(*)

Проинтегрируем:

По Фурье:

В плоской бесконечной пластине (стенке) при граничных условиях первого рода в виде постоянных температур плотность теплового потока по нормали к стенке есть величина постоянная, независящая от координаты.

Проинтегрируем (*) во второй раз:

Разделим обе части уравнения на , получим:

^{Г де: - среднее значение для выбранного интервала температур.}

^{по аналогии:}

Величина есть термическое сопротивление плоского слоя.

Рассмотрим многослойную пластину, причём количество слоёв произвольно:

Заданы: ,

так же известны.

- могут отличаться

друг от друга, т. к. пластинки

могут быть из разных материалов.

0 x

n

Свойства любого слоя постоянны по осям x и z.

Решая соответствующие уравнения теплопроводности, мы получим:

^{; ; …}

Плотности теплового потока по оси х согласно нашему условию есть величина постоянная и на границе не может быть скачка согласно закону сохранения.

Просуммируем:

так как величина , вынесем её за скобки:

Разделив на выражение в скобках обе части, получаем:

^{по аналогии}

термическое сопротивление

- индекс слоя. многослойной стенки.

З аменим n+1 на k:

Значения температур

Заменим 1 на k: на границе по ходу -

- слева или справа.

Найдём температурное поле в плоской стенке.

Вернёмся к уравнению теплопроводности после первого интегрирования:

а) Пусть ; проинтегрируем:

Температура в i – том слое:

1. Д ля переменного значения :

^Пусть

Проинтегрировав это выражение, получим:

Умножим обе части уравнения на :

Раскроем скобки:

Прибавив и отняв от правой части уравнения, получим:

Рассмотрим два случая:

1)

Откуда t равно:

2)

В этом случае:

Объединяя эти два случая, получим решение нашей задачи:

t ₁ + 

t₂ ^где

