В таблицах и монограммах рассчитано для двух точек (в середине пластины

Х=0 и на поверхности Х=1)

Одна монограмма для Х=0, другая – для Х=1

Случаи вырождения чисел био.

Вырождение – достижение некоторых предельных значений. Предельными значениями БИО являются бесконечно большие и бесконечно малые.

1. Бесконечно большое числоBi: .

можно применять предельный подход:

^{при :}

Если мы рассмотрим выражение для :

^{причём:}

^{так как , то}

Изобразим это:

Если поместить пластину в печь, то температура на её поверхности сразу станет равной температуре печи.

Если , мы получим:

^{- температура на оси при больших временах.}

Выражая через , мы получим:

Это время достижения заданной температуры в центре пластины.

2. Бесконечно малое Био:

На практике Био вырождено, если

Корни характеристического уравнения:

При этом:

Для тонких тел температура описывается одним членом ряда независимо от числа .

Определим порядок при :

Поэтому для малых Био поле температур описывается одним единственным членом ряда:

Изобразим эту зависимость:

Это означает, что разница температур в центре и на поверхности стремится к нулю.

2. Рассмотрим :

Охлаждение (нагревание) бесконечного цилиндра.

Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом .

Известен материал, , . Цилиндр размещён в среде с постоянной , коэффициент теплоотдачи .

Н ачальная температура в любой точке цилиндра

Задача является одномерной.

решением является:

Почти уравнение Бесселя

его решениями являются функции Бесселя

- функция Бесселя первого рода нулевого порядка;

- функция Бесселя первого рода первого порядка.

Начальные условия:

Граничные условия:

1) ^{- условие симметрии.}

²⁾

^{Общий вид решения:}

^{- безразмерный радиус.}

^J₀ ^{– аналогично}

^J₁ ^{– аналогично}

Функция является производной

1

2 4 6 8 10

-0,4

- бесконечные периодические функции с уменьшающейся амплитудой.

⁽*⁾

Характеристическое уравнение для расчёта корней.

Анализ решения.

Поскольку временная функция такая же как и в предыдущей задаче для , температурное поле описывается так же одним членом ряда.

1. 

Поверхностный слой цилиндра мгновенно принимает температуру окружающей среды.

2. 

(Порядок малости)

подставим в (*), получим:

Рассчитаем при :

При вне зависимости от Фурье решение описывается первым членом ряда:

Изобразим температурное поле при :

0 1