4) Гипотеза излучения

Если мы имеем абсолютно чёрное тело, то энергия, излучаемая с его поверхности пропорциональна Т ⁴:

;

- постоянная Стефана- Больцмана.

Если поверхность не соответствует абсолютно чёрному телу, то для этого тела:

Функция (T) – степень черноты – безразмерная величина.

Если мы имеем комбинацию холодных и горячих тел, то излучение тепла от горячего, то излучение тепла от горячего тела к холодному подчиняется закону Стефана-Больцмана: если одно тело горячее (1), а комбинация m холодных тел (2) имеет одну и ту же температуру, тогда:

где: F₁ – площадь поверхности горячего тела,

Q – общий поток тепла.

Вывод уравнения теплопроводности.

Уравнение теплопроводности – это частное представление энергии для среды, которую можно представить как твёрдое тело.

М ы рассматриваем среду произвольного объёма , произвольной массы , ограниченной поверхностью F. Есть внутренняя энергия этой среды и энергия потенциальная: 0

Е = U + E_кин + E_пот

Запишем: через среднюю удельную энергию :

П олучаем: 0

Все последующие выражения справедливы для Р = const

Уравнение теплопроводности нельзя использовать, если внешние условия меняют внутренний состав твёрдого тела.

где

Рассмотрим процесс по времени и разложим H в ряд Тейлора вблизи точки 

тогда:

Поток Q разобьём на две составляющие – на объёмную и поверхностную:

- объёмная генерация тепла.

По теореме Остроградского если есть некий вектор , то:

Q _F ^{По теореме Остроградского}

В конце концов, получим:

Рассмотрим энтальпию как функцию двух независимых параметров – температуры и давления: 0

с_P

Предположим, что теплоёмкость по времени не меняется:

Учитывая , окончательно записываем уравнение:

Это окончательный вид уравнения теплопроводности.

Рассмотрим частный вид уравнения теплопроводности; если  = const, то её можно вынести за знак оператора дивергенции:

где:

Классическое Уравнение Лапласа

(Если q_V = 0)

Условия однозначности.

Для того чтобы решить дифференциальное уравнение, необходимы условия однозначности. Их количество определяется порядком уравнения, а так же тем, является задача стационарной или нестационарной.

Для стационарной задачи необходимы следующие условия однозначности:

1. Задание формы и объёма области исследования.

2. Начальные условия.

Только для уравнений теплопроводности начальным условием является задание температуры как функции координатной области исследования, включая границу в фиксированный момент времени, который называется начальным моментом и обычно принимается за ноль.

Математически это записывается следующим образом: если  есть совокупность координат точки области, то тогда начальное условие – есть поле температур для заданных координат:

(*)  V

_=0 – точка отсчёта.

Не во всех задачах теплопроводности условие (*) задаётся именно таким образом. Иногда оно имеет вид:

Будем обозначать нестационарную задачу следующим условием:

; а стационарную -

Условия однозначности включают и граничные условия нескольких типов (родов) – это есть задание температур или других параметров на поверхности, ограничивающей среду.

Граничные условия первого рода – это задание температур на поверхности F:

причём: ; - произвольная.

Если нет условий первого рода – задача решений не имеет.

Граничные условия второго рода – это задание плотности теплововго потока на поверхности:

по Фурье

F

- это поток для среды, нами изучаемой.

Граничные условия третьего рода формируется как задание непрерывности проекции плотности теплового потока на нормаль. Записывается это сочетанием закона Фурье и гипотезы Ньютона-Рихмана:

q_n

_F

Граничные условия третьего рода могут быть усложнены; если имеется изучаемая среда с высокой температурой (t>350⁰ C), то соответствующая среда имеет компоненту теплового излучения. Граничные условия IIIа в этом случае будут переписаны следующим образом:

^F

По Стефану-

-Больцману

Некоторые авторы выводят граничные условия четвёртого рода (условие «сшивки»): если есть потоки субстанции, то на границе ни количество субстанции, ни её поток скачками меняться не могут. Граница является стоком, если такой скачок есть.

Граничные условия третьего рода нельзя использовать, если неизвестен коэффициент теплоотдачи  . Он как правило сильнейшим образом зависит от температуры. В этом случае нужно использовать гипотезу Фурье:

равенство

потоков

^{F F} ;

равенство энергий

F F (условие «сшивки»)

Задачи на граничные условия четвёртого рода называются сопряжёнными.

Геометрическая интерпретация граничных условий третьего рода.

жидкость t твёрдое тело

F B

C

t_ж

l A

n x

Рассмотрим следующие точки: А,В,С.

; ; найдём l.

М ы имеем:

(1)

(2)

Сравнивая (1) и (2), мы получаем, что

Если то

Любое изменение температурного поля в теле приводит к тому, что пересечение на границе не изменится (точка С)