Решение задачи теплообмена на пластине.

Рассмотрим ту же самую задачу, но теперь пластина обогреваемая:

^{Известно: вдоль пластины.}

^{Введём:}

^{Введём безразмерную}

Математическая постановка задачи:

1. ^{Уравнение энергии:}

2. ^{Граничные условия третьего рода:}

^{Граничные условия:}

^{Заменим безразмерной , а координаты х и у – на :}

^{В качестве примера:}

⁽¹⁾

⁽²⁾

Это математическая постановка задачи теплообмена на пластине в безразмерной форме.

Граничные условия:

Выразим через уравнение I. Сделаем предположение, что поле температур слабо влияет на поле скоростей, тогда мы можем вернуться к решению гидродинамической задачи для необогреваемой пластины.

^{Из I следует: , подставим в уравнение (1):}

^{Используя граничные условия, найдём значения}

Решение имеет вид:

Мы решили задачу для интенсивности теплообмена для пластины (распределение температур в пограничном слое). Аналитически задача не решаема, если - не целое число, так как тогда интеграл не существует. Рассмотрим задачу для значений числа Прандтля:

1. 

^{Э то значит, что:}

При безразмерное поле температур в ламинарном пограничном слое совпадает с безразмерным полем температур.

Продемонстрируем это на графике:

2. 

3. 

Режим течения ламинарный:

^{(*) , если (найдено опытным путём).}

^{если (характерно для расплавленных металлов).}

^{(*) – принято для , если режим течения среды ламинарный.}

^{Если Pr=1, то: , а значение мы определили в гидродинамической задаче: .}

^{Обозначим:}

^{Итак: - характеризует эффективность теплообмена на пластине.}

Формула Польгауза.

Формула представляет собой аналитическую зависимость.

Теплообмен при продольном обтекании пластины и турбулентном режиме течения. Аналогия Рейнольдса.

Эпюра температур Эпюра скоростей

Турбулентное ядро

движение

массы

моль

обтекаемая кромка

пластины

^{- толщина вязкого подслоя.}

^{При любом режиме течения среды в пограничном слое вблизи омываемой стенки (пластинки) существует тонкий вязкий подслой. Под вязким подслоем понимается подслой с режимом течения ламинарным.}

Соединим точки пересечения эпюр скоростей и температур с вязким подслоем и обозначим индексом границы подслоя: . Положительное направление потока – это направление от стенки.

Существует некая плоскость А-А, параллельная нашей пластине. Назовём область невязкого подслоя – турбулентным ядром.

Обозначим: - плотность обмена молями

- плотность теплового потока, обусловленного обменом молями.

^{В ядре:} макромеханизм

переноса

микромеханизм переноса

^{Гипотеза Фурье: - механизм поперечного обмена теплом.}

^{Гипотеза Ньютона:}

Молекулярный механизм переноса тепла показывает, что плотность теплового потока пропорциональна касательным (молекулярным) напряжениям. Турбулентный перенос тепла пропорционален турбулентному напряжению. При этом из элементарных макромасс записываем:

_{Это математическое отражение аналогии Рейнольдса.}

^{Из аналогии Рейнольдса следует:}

^{предположим, что в вязком подслое изменение температуры и скорости линейны. То есть в вязком подслое мы предположили линейность распространения температурного поля и поля скоростей:}

⁽¹⁾

^{В зоне суммарное тепло тождественно определено механизмом молекулярным:}

^{Параметры , следовательно в любой точке по у тепловой поток . Воспользуемся тем, что нам известны параметры на стенке:}

⁽²⁾

^{В турбулентном ядре механизм переноса тепла суммарный:}

^{Предположим, что (если мы рассматриваем большие числа Рейнольдса). Опытными данными установлено, что это работает, если . Значит:}

^{Рассмотрим границу вязкого подслоя со стороны турбулентного ядра и констатируем факт: ни один из параметров среды не может иметь разрыв своего численного значения на границе вязкого подслоя. Тогда:}

^{- на границе.}

^{Допущение: представим себе всю область турбулентного ядра как условную плоскость А-А через которую переносится тепло и количество движения, тогда:}

⁽³⁾

^{Для (4)}

^{Рассмотрим совместно уравнения (2) и (4):}

^{И з (2)}

^{Из (4)}

^{Сложим их:}

^Где:

^{по определению: (*)}

^Где:

^{Заменим в выражении (*) на коэффициент трения :}

^(**)

^{Введём определение: безразмерный комплекс равный называется критерием Стантона:}

^{Из (**) получаем:}

^{Интенсивность теплообмена напрямую зависит от трения на стенке.}

^{Рассмотрим ситуацию, когда :}

^(***)

^{Для ламинарного режима мы имели:}

^{Для турбулентного режима экспериментально была найдена связь :}

^{Если мы перейдём к коэффициенту трения, то получим}

подставим в (***).

Если :

опытные данные.