Пути решения задач

Если математик предполагает, что система координат неподвижна, то можно по-разному оценивать изменение параметров в точке. В этом случае около точки выделяется объём с прозрачными стенками, который имеет неподвижный центр объема, и среда этот объём пронизывает.

- локальный подход.

Локальный подход рассматривает локальную точку и некий условный объём

^{определённая форма дифференциального уравнения.}

^{Система координат привязывается к центру объёма. Этот локальный подход называется эйлеров подход. Если система координат подвижная, то такой локальный подход называется лагранжев подход.}

^{Есть ещё один вариант, когда в пространстве с неподвижными координатами выделяется некий объём постоянной массы – субстанциальный подход.}

М ы рассматриваем постоянную массу, но объём – переменный, границы этого объёма деформируются, центр объёма масс движется.

Если мы возьмём любой параметр , то изменение этого параметра по времени нужно рассматривать как полную производную от сложной функции:

проекция скорости на ось x проекция на ось у проекция на ось z

^{- субстанциальная производная от параметра, которая учитывает изменение параметра по времени с учётом перемещения центра объёма.}

^{Существует понятие массовых (объёмных) сил – это реально существующие силы. Примером таких сил является тяготение, инерция, магнитное поле, электрическое поле, биополе.}

^{Вводится понятие поверхностных сил. Они не существуют, но начинают проявляться только тогда, когда в движущуюся среду вводится возмущающий объект (стенка). Мы можем их рассматривать как силы, проявляющиеся как действие на поверхность этого тела. Примеры поверхностных сил: давление и силы трения.}

^{Математическое определение: плотностью распределения массовых сил называется предел отношения вектора к массе при стягивании объекта в точку:}

^{- главный вектор массовых сил, приложенных к объекту .}

^{Касательными силами на единицу поверхности называется вектор}

^{- элементарная площадка}

• ^{равнодействующая всех сил,}

^{действующих на эту площадку.}

^{называется напряжением.}

^{Массовые силы образуют векторное поле, так как в конкретной точке имеют одно направление и одну величину.}

^{Поверхностные силы образуют тензор – бесконечное множество векторных полей. Тензор зависит от расположения площадки в точке.}

^{Рассмотрим текучую среду в декартовых координатах:}

Рассмотрим жидкий тетраэдр МАВС. Основание – треугольник АВС, вершина – точка М. - нормаль к площадке АВС.

В механике жидкостей и газов различают лицевую сторону площадки (от которой возведена нормаль) и внутреннюю сторону. Сила, действующая на лицевую сторону – плюсовая сила. Рассмотрим силы, действующие на все площадки: .

Мы учли, что кроме поверхностных сил могут действовать массовые силы.

- масса тетраэдра.

^{- ускорение (производная скорости повремени).}

^{Начнём стягивать объект в точку:}

Эти девять проекций определяют .

Проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно через проекции напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным плоскостям, лежащих в координатных плоскостях, то есть совокупностью девяти величин.

Эта матрица является тензором второго ранга.

Напряжённость.

Запишем относительно тензора второго ранга следующее:

Отдельные компоненты тензора зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выражающую состояние среды в данной точке и не зависит от выбора направлений осей координат.

В любой точке может быть любой количество напряжений, в зависимости от направления площадки.

Скорость любой точки твёрдого тела можно представить как скорость поступательного движения и угловую скорость вращения вокруг этой точки. Для жидкой среды появляется третья компонента – скорость деформации. Итак, скорость движения жидкости можно представить как скорость прямолинейного движения, скорость углового вращения и скорость деформации. Скорость деформации есть тензор, и соответствующие компоненты записываются так:

Особенностью этой матрицы является то, что она симметрична в отличие от матрицы напряжений. Это значит, что если взять диагональ, то величины . Любой компонент этой матрицы рассчитывается очень просто:

^{где: и означает координату. Например:}

^{Согласно гипотезе Ньютона-Стокса существует связь следующего вида:}

^{- является величиной, которая называется давлением среды. - дельта функция, ненулевая в одной точке:}