Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров.

Рассмотрим два варианта:

1. Параллелепипед:

Разместим начало координат в центре параллелепипеда и обратим внимание на то, что параллелепипед есть пересечение трёх бесконечных пластин, лежащих в координатной плоскости.

Теорема о перемножении решений: если безразмерная функция есть решение задачи для бесконечной пластины толщиной ,функция есть решение задачи для бесконечной пластины с толщиной , а функция есть решение задачи для пластины толщиной , то общим решением задачи для параллелепипеда будет функция равная произведению этих решений:

Речь идёт о решении задачи с температурным полем.

Замечание:

• Речь идёт только о безразмерных функциях.

• Речь идёт об уравнении теплопроводности.

• вид граничных условий должен быть одинаковым для трёх задач (условия III рода), а начальные условия должны быть равные и равны .

Если хотя бы одно условие не выполняется, то теорема не подходит.

2. Цилиндр конечных размеров:

Рассмотрим цилиндр - это

пересечение двух бесконеч-

ных тел – цилиндра и

пластины.

Решением является:

или:

Определение количества тепла, отдаваемого телами при охлаждении.

Постановка задачи: определить количество тепла отдаваемого в окружающую среду телом, охлаждённым с первоначально постоянной температуры до заданной (средняя температура).

Полное количество тепла запасённого в теле по определению:

- масса тела

Если мы имеем тело, которое можно считать бесконечным, то количество тепла определяется с единицы поверхности.

Для бесконечной пластины:

Для бесконечного цилиндра:

^{Тепло, оставшееся после охлаждения до}

Отданное окружающей среде тепло:

^Где:

Если мы осредним эту функцию по времени, мы получаем решение задачи.

1. Бесконечная пластина:

Рассмотрим частные варианты вырождений чисел БИО:

¹⁾

²⁾

2. Бесконечный цилиндр:

Важно найти среднюю температуру в данный момент времени.

Смотри справочные данные. Поиск сводится к средней температуре. Регулярный режим охлаждения (нагревания) тел.

Бесконечная пластина.

- физические свойства и начальные условия.

- физические условия и координаты.

Вернёмся к первоначальной записи :

^{, где}

^{П ри малых временах реальное температурное поле – есть неупорядоченная стадия. Есть слои, которые ещё «не знают» об охлаждении среды.}

Пусть соответствует . Изменение температурного поля будет зависеть от физических свойств тела и от координат.

1

неупоряд.

стадия

охлаждения

^Если , ^{то работая в логарифмических координатах, получим следующее:}

^(*)

^{где . Угол наклона определяется}

Эта стадия охлаждения или нагревания когда описывается одним членом ряда называется регулярным режим охлаждения, нагревания тел.

Продифференцируем функцию (*):

Параметр равный от 1 до называется темпом охлаждения или нагревания тела.

Темп охлаждения можно определить экспериментально. Найдя и выбрав :

В регулярном режиме темп охлаждения не зависит от координат и времени и является постоянной величиной для всех точек тела.