Нестационарные процессы теплопроводности.

Запишем решение нестационарных задач в декартовых координатах.

Начальные условия должны быть заданы.

Граничное условие задаётся в виде граничных условий III рода:

- любая координата (x,y,z).

Кроме того, мы должны знать внешние параметры, то есть размеры

и теплофизические параметры:

Незнание одного из условий переводит задачу в нерешаемую.

Поместим болванку в печь

- температура на оси или центральной пл-ти

Изменение температур в разных точках тела будет разным. На поверхности температура будет расти сразу, внутри – через некоторое время (время запаздывания). Имеет место разность температур в разных точках тела.

Охлаждение (нагревание) бесконечной пластины.

Задача решается одинаково и для нагрева и для охлаждения.

Будем считать, что пластина бесконечна постоянной толщины .

Разместим начало координат в серединной плоскости.

Постоянное поле температур в начальный момент времени.

Известно:

Задача одномерная, пусть

• ^{уравнение теплопроводности}

^{для нестационарной задачи.}

^{Зададим ряд постоянных начальных условий:}

Два граничных условия:

1. - условие симметрии. Температуры в симметричных точках относительно оси z равны. Будем решать задачу от 0 до .

2. Граничные условия III рода:

Используем метод разделения переменных.

Предположим, что решение может быть представлено как произведение двух функций: одна функция зависит от времени, другая – от координат.

Ищем решение:

Пусть:

⁽*⁾

Эти функции могут быть равны, только если (_*) = const.

Решение первого уравнения:

Решение второго уравнения:

Воспользуемся условием симметрии:

Отсюда

Итак: , где: .

^{С группируем: умножим на .}

Обозначим:

^{- характеристическое}

^{уравнение для расчёта}

^корней

правая часть

левая

часть

Решений этого характеристического уравнения бесконечное множество. Решению удовлетворяет множество принятых нами значений k.

^{Введём безразмерную координату:}

^{- критерий Фурье или безразмерное время.}

^{Общее решение задачи:}

^{где: - безразмерное отношение разности температур.}

^{Согласно принятому начальному условию :}

^{через коэффициент А:}

^(*)

Разложение функции в ряд Фурье

(это четная функция)

Если мы возьмём область определения от до и проинтегрируем от до :

Домножим (_*) на и проинтегрируем:

Константа А_п для любого частного решения определяется начальными условиями задачи:

Анализ решения.

Поскольку в решение входит exp с отрицательным показателем, то при больших временах exp – бесконечно малое. Значит, ряд является быстро сходящимся. Если ряд быстро сходящийся, то можно ограничиться только первыми членами ряда. Большим временем можно считать . Если , то ограничиваются только первым членом ряда:

F(Bi) F(Bi,X)