§1.10. Инварианты электромагнитного поля.

Все тензоры имеют инварианты вида:

.

Это несложно показать. Действительно:

.

В составе электромагнитного поля существуют два тензора - и . На них можно построить три инварианта:

.

По сути, первый и третий инварианты означают одно и то же, поэтому рассмотрим два первых взаимно независимых инварианта.

Для начала вычислим первый из них, опуская дословное описание суммирования по каждому из индексов и :

.

То есть, для первого инварианта можно записать:

.

Аналогично можно вычислить и второй инвариант:

.

Второй инвариант выглядит как:

.

Рассмотрим теперь следствия из факта наличия этих двух инвариантов. В частности, первый из них гласит, что:

,

что означает, что если в одной системе отсчета и равны по модулю, то и в любой другой инерциальной системе отсчета они будут равны по модулю, что соответствует случаю, когда . Если же больше (меньше) нуля, то это означает, что если в одной системе отсчета больше (меньше) , то и в любой другой инерциальной системе отсчета будет больше (меньше) . Может случиться так, что в одной из систем , то в другой инерционной системе электрическое поле может быть и не равным нулю, но оно возникнет всегда таким образом, чтобы . И, соответственно, наоборот.

Если в одной системе угол векторы и ортогональны, то , а согласно второму инварианту и . А это значит, что и в любой другой инерциальной системе вектора останутся строго ортогональными. Более того, если в некоторой системе угол между ними острый (тупой) углом, то и в любой другой системе он будет острым (тупым). (Если в одной системе , то и в любой другой будет .

Глава II. Релятивистская механика.

§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.

Прежде всего следует отметить, что релятивистская механика строится на постулатах СТО. Она существенно отличается от классической, Ньютоновской механики. Значит, следует определить основные динамические переменные релятивистской механики.

В механике Ньютона все динамические переменные определены в предположении, что время абсолютно, то есть . В релятивистской механике это предположение изначально не принимается. Однако, несмотря на это, динамические переменные следует определить так, чтобы они оставались одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, все они нуждаются в переопределении. Стоит отметить, что некоторые аналогии с классической механикой сохраняются.

В Ньютоновской механике импульс определяется как . Необходимо осуществить переход от трехмерного к четырехмерному вектору импульса: .

Четырехмерный вектор импульса должен иметь вид . Обозначим , где имеет размерность энергии. Согласно Ньютону, импульс должен быть пропорционален скорости, значит для четырехмерного вектора импульса:

.

- некоторая, пока не определенная инварианта, имеющая размерность массы.

Используя определения четырехмерной скорости, можно записать:

.

Если рассмотреть трехмерную, пространственную компоненту, то:

, где - Ньютоновская скорость.

Причем , а это значит, что . Причем, в системе покоя . То есть - масса частицы в системе покоя, истинная масса частицы. Масса же есть относительная, релятивистская масса, существенно зависящая от скорости при стремлении последней к скорости света.

Обозначенная выше величина может быть определена из тех соображений, что :

.

В Ньютоновской механике нет аналогии этой величины. Перейдем к нерелятивистскому приближению , чтобы определить физический смысл :

.

Это – формула для энергии покоя, полученная Эйнштейном. Она означает, что покоящаяся частица обладает энергией, которая, например, может частично выделится в процессе распада. Разложим теперь по малым :

.

Видно, что второе слагаемое есть не что иное, как кинетическая энергия движущейся частицы. Таким образом, физический смысл состоит в том, что это кинетическая энергия частицы вместе с энергией покоя:

.

Четырехмерный вектор импульса обладает инвариантами аналогично четырехмерному вектору скорости:

.

.

Последнее соотношение между , и может быть записано как:

или .

Учитывая то, что , получаем, что из инвариантности следует энергия в виде:

.

Определим теперь четырехмерный вектор силы. У Ньютона сила есть . В релятивистской механике ему соответствует четырехмерный вектор:

.

В классической механике сила пропорциональна ускорению, значит выглядит как:

.

Очевидно, что здесь есть уже определенная выше масса покоя частицы.

Выясним теперь физический смысл нулевой компоненты четырехмерного вектора силы. Из определения видно, что:

.

С другой стороны:

.

Таким образом, можно получить выражение для :

.

(Очевидно, что производная от равна нулю.)

Введя буферную производную по , получаем:

.

Перейдя теперь к нерелятивистскому приближению , имеем:

.

Таким образом, величина имеет размерность и смысл мощности:

.

К этому соотношению можно подойти с другой стороны, используя ортогональность четырехмерных векторов скорости и ускорения: . Получаем:

=> .

То есть вектора и также ортогональны в четырехмерном пространстве. Раскроем скалярное произведение:

.

Если теперь использовать определение четырехмерной скорости, получаем:

=> => .

Оказывается, что может быть выражена через пространственные компоненты. Также важно, что при и , что означает пространственноподобность четырехмерного вектора силы. Его временная компонента обращается в нуль в системе покоя.

(Кстати, это условие выполняется для любого пространственноподобного вектора. Если вектор пространственноподобный, то есть в системе покоя, где , всюду , то для него всегда выполняется соотношение ).

С другой стороны, так как , можно записать:

=> ,

где - «обычная» Ньютоновская скорость. Несложно показать, что перейдя к нерелятивистскому приближению, мы будем иметь дело с Ньютоновской силой:

.

Известно, что есть мощность .