экстремум
.doc4. Экстремум функции двух переменных
4.1 Необходимые условия существования экстремума.
Понятие максимума и минимума можно распространить и на случай функции нескольких переменных (здесь для случая двух переменных).
Говорят, что функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности и отличных от точки выполняется неравенство:
,
или
.
Теорема 1
(Необходимые условия существования экстремума). Если функция имеет в точке экстремум и в этой точке существуют частные производные и то
(1)
Доказательство. Из определения экстремума следует, что , рассматриваемая как функция одной переменной , при также имеет экстремум. Поэтому . Аналогично получаем равенство: .
Замечание 1
Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции можно записать ещё и так:
,
в самом деле так как, если , то каковы бы ни были , всегда выполняется
. ()
И обратно: если в данной точке тождественно выполняется условие (), то в виду произвольности производные порознь также равны нулю.
Для случая более двух переменных соответственно имеем
и
Замечание 2
Приведенные условия существования экстремума не являются достаточными, о чем свидетельствует следующий
Пример .
Частные производные равны нулю в точке , но экстремума в этой точке функция не имеет, так как в любой окрестности точки она принимает значения разных знаков, а в самой этой точке .
4.2 Достаточные условия существования экстремума.
Теорема 1
(Достаточные условия существования экстремума). Пусть функция , непрерывная вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности точки удовлетворяет условиям (1).
Обозначим .
Тогда в точке функция :
-
имеет минимум, если и ;
-
имеет максимум, если и ;
-
не имеет экстремума, если
Доказательство Ради краткости доказательство проведем для случаев 1 и 2. Согласно формуле Тейлора, взятой для , с учетом условий (1) имеем:
(2)
где
В силу непрерывности вторых частных производных в точке следует, что
.
Поэтому в силу свойств непрерывных функций для достаточно малых имеем:
В силу неравенств (3) и (4) равенство (2)можно представить в виде:
или дополняя до полного квадрата, в виде:
Выражение во внешних скобках в силу неравенства (5) положительно. Поэтому 1) если (а тогда в силу неравенства (3) и ), то , и следовательно, в точке минимум; 2) если (а тогда в силу неравенства (4) и ), то , и следовательно, в точке максимум.
Рассматривая второй дифференциал (2) в рассматриваемой точке он представляет собой однородный многочлен второй степени или, как говорят квадратичную форму от переменных и исследуя эту форму на знакоопределенности, мы получаем ещё одно необходимое и достаточное условие:
Критерий Сильвестра (J.J. Sylvester)
Для того, чтобы (2) была определенной и положительной. Он выражается цепью неравенств
,
а для определенной и отрицательной
.
Пример 1
Исследовать на экстремум функцию .
Решение: её частные производные обращаются в нуль в точках и . Её вторые производные равны . В точке имеем и следовательно, в точке экстремума нет. В точке имеем и следовательно, в точке минимум.
Примечание. Покажем на примерах, что в случае экстремум может быть, но его может и не быть.
Пример 2
Функция в точке , где , как показано выше (см. п.4.1) экстремума не имеет
Пример 3
Функция в точке , где , имеет экстремум, потому, что в любой окрестности этой точки данная функция положительна, а самой точке равна нулю.