§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.

Ранее были получены преобразования Лоренца для координат и времени:

, где .

Эти формулы не являются ковариантными. Здесь выделены отдельные координаты и время, тогда как ковариантные формы подразумевают отсутствие выделенных координат.

, .

- матрица, которая представляет собой коэффициенты преобразования. Эти коэффициенты постоянны.

.

Положим :

.

Сравнивая полученное выражение с известным преобразованием Лоренца, определяем соответствующие коэффициенты преобразования :

Положим теперь :

.

Соответственно, находим:

Полагая далее и , получаем, что и . Все остальные коэффициенты равны нулю. Таким образом, матрица преобразования Лоренца для случая, когда система движется вдоль оси «неподвижной» системы имеет следующий вид:

.

Это – матрица частного преобразования Лоренца. Перепишем ее следующим образом:

.

Если речь идет об обратном преобразовании Лоренца, то вместо матрицы следует использовать обратную матрицу :

.

Причем справедливо следующее выражение:

.

Очевидно, что , то есть :

.

Иначе, матрица удовлетворяет следующему условию:

- единичная матрица.

.

Следует убедиться в правдивости найденных коэффициентов. Для этого должно выполняться :

.

Несложно показать, что в случае произвольного преобразования Лоренца матрица преобразования выглядит таким образом:

.

§1.7. Четырехмерные векторы.

Четырехмерные векторы – совокупность четырех величин, которые при переходе от одной инерционной системы отсчета к другой преобразуется по закону:

, .

Четырехмерный вектор скорости определяется как , где - собственное время.

, где - обычная Ньютоновская скорость.

, так как .

Так же нетрудно показать, что :

.

То есть свертка двух четырехмерных векторов есть инвариант. Найдем инвариант, соответствующий четырехмерному вектору скорости:

.

.

Интересно, что в состоянии покоя (при ) будем иметь:

.

Такие четырехмерные векторы, у которых в системе компонент имеется только временная, называется временеподобными. Другим примером четырехмерных векторов служат пространствоподобные вектора. Таковым, например, является четырехмерный вектор ускорения:

- пространствоподобный вектор.

Найдем его компоненты:

.

Аналогично с радиус-вектором, введем производную по лабораторному времени:

.

Вычислим :

.

Подставим это значение в выражение для :

.

Фактически, это новый четырехмерный вектор. Перепишем это выражение, объединив 0-компоненты и пространственные компоненты:

.

Наконец, чтобы получить выражение, похожее на Ньютоновское ускорение . Для этого внесем в квадратные скобки и получим:

=>

=> .

Убедиться в его пространствоподобности можно, если рассмотреть в состоянии покоя :

=> .

Так образом, - пространствоподобный вектор. Можно показать, что четырехмерные вектора скорости и ускорения взаимно ортогональны в четырехмерном пространстве: . Покажем это:

=> =>

=> => они взаимно ортогональны.

Также можно показать, что справедливо или иначе .

Стоит отметить, что введя понятие четырехмерного вектора, мы определяем преобразования Лоренца для четырехмерного вектора:

.

Запишем преобразования Лоренца для произвольного четырехмерного вектора:

.

Также можно доказать, что .