§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
Так как время в СТО не является абсолютным, его можно рассматривать наравне с тремя координатами пространства как четвертую координату – координату времени. Такое пространство будем считать однородным и изотропным всюду, а все четыре оси – взаимно ортогональными. Как и оговаривалось ранее, будем называть такое пространство пространством Минковского. Координаты некоторой точки в таком пространстве образуют совокупность четырех величин:
,
.
Определенная таким образом точка в четырехмерном пространстве точка называется мировой точкой. Если эта точка движется, то ее траектория называется мировой линией. Расстояние между двумя мировыми точками называется интервалом и определяется по формуле:
.
Под
следует понимать расстояние, которое
было определено ранее для простого
трехмерного пространства.
Следует отметить, что интервал инвариантен.
Иначе говоря, если
есть интервал в одной инерциальной
системе координат, а
- в другой, то справедливо:
.
Из этого свойства интервала можно
определить коэффициент
в его определении. Запишем равенство
интервалов:
.
Если время абсолютно, то при равенстве
следовало бы, что
,
что и имело место в механике Ньютона.
П
усть
теперь
,
а следовательно и
.
Инерциальные системы остаются таковыми,
если они движутся относительно друг
друга с постоянной скоростью. Рассмотрим
две системы:
и
,
движущуюся относительно
с постоянной скоростью
(рис. 1.8). В обеих системах координат
скорость распространения света одинакова
согласно первому постулату Эйнштейна
-
.
Тогда можно записать:
.
Составим теперь квадрат интервала в четырехмерном пространстве:
=>
т.к.
,
то
,
=>
(знак «+» взят для определенности).
Если теперь рассматривать радиус-вектор
частицы в пространстве Миньковского,
то его модуль можно записать как
и следовательно
.
Таким образом
.
В данном рассмотрении четвертая
координата является мнимой, однако
спустя некоторое время временнýю
координату стали считать действительной.
Для этого введем два типа четырехмерных
векторов – контравариантные и
ковариантные. Компоненты
контравариантного вектора будут
задаваться как
,
а ковариантного, соответственно, как
.
Тогда правило
будет выполняться.
Позднее более широкую популярность
приобрела другая система обозначений.
Контравариантные вектора стали обозначать
через
,
а ковариантные -
.
Для такой записи также легко убедиться,
что:
– это тот же результат, что и с мнимой единицей. Однако в такой форме обозначений время является уже действительной координатой.
Далее для удобства будем считать, что
все греческие символы пробегают значения
от 0 до 3 -
,
а латинские – от 1 до 3 -
.
В различных формулах электродинамики встречаются то верхние, то нижние индексы. Операция поднятия и опускания индексов производится посредством соответствующих метрических коэффициентов или метрики:
.
Конкретные коэффициенты
принимают значения 0 или 1. Матрица
имеет вид:
.
При этом будем считать, что при поднятии или опускании индекса 0 (1 раз!) знак меняется на противоположный, а когда мы поднимаем или опускаем индексы (1..3) ничего не меняется. Таким образом, получаем:
;
.
Символ
уже использовался при описании трехмерного
пространства:
– это
-символ
Кронекера.
Иногда в литературе используется другая метрика с сигнатурой –2, то есть сумма ее диагональных элементов равняется –2, а сама она имеет вид:
.
Впредь мы будем использовать исключительно
метрику с сигнатурой +2:
.
Понятие светового конуса.
Для изучения процессов в четырехмерном пространстве следует определить те области, в которых они могут реально происходить.
Рассмотрим физические процессы, связанные с распространением луча света. Если источник света находится в начале координат, то распространение луча света из начала координат описывается уравнением:
.
С математической точки зрения это есть
уравнение конуса в четырехмерном
пространстве, вершина которого лежит
в начале координат. Рассмотрим сечение
четырехмерного пространства:
.
Так как речь идет о распространении света, такой конус называют световым конусом (рис. 1.9). Образующая конуса – есть траектория луча света или его мировая линия в четырехмерном пространстве.
Рассмотрим
движение частицы в четырехмерном
пространстве. Если частица движется
равномерно и прямолинейно и при
проходит через начало координат, то при
движении вдоль оси Х в трехмерном
пространстве ее мировая линия в
четырехмерном пространстве есть
следующая величина:
;
.
Домножим и поделим на :
.
Введем обозначение
и получим в итоге:
- уравнение прямой.
Следует
отметить, что коэффициент
всегда меньше единицы (за счет того, что
).
Таким образом, угол наклона прямолинейной
траектории равномерного движения в
сечении
четырехмерного пространства всегда
лежит в пределах
(рис. 1.10).
Если частица покоится, то ее мировая
линия совпадает с осью
.
Если частица движется неравномерно, то ее мировая линия есть кривая в четырехмерном пространстве.
Скорость частицы всегда меньше скорости света, что означает:
;
.
Отсюда следует, что любая мировая линия, описывающая любой реальный процесс, лежит только внутри светового конуса (рис. 1.11). Вне светового конуса никакие процессы с реальными частицами невозможны.
Наконец, с течением времени частица может только удаляться от поверхности светового конуса:
- область абсолютного будущего;
- область абсолютного прошлого.
Световой конус – это геометрическое место точек, которые соответствуют мировой линии в четырехмерном пространстве (рис. 1.12).
То есть, это – скорость движения
относительно оси
.
При
:
.
(отношение
всегда меньше 1)