Глава IV. Теория частиц и полей.

§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.

Простейший случай одноименных зарядов является неустойчивой системой, так как они будут отталкиваться друг от друга с кулоновской силой

.

Р азноименные заряды будут притягиваться друг к другу и в конце концов упадут друг на друга.

Рассмотрим расположение трех зарядов, изображенное на рис.4.1. Эта система квазиустойчива. Для устойчивого положения сила отталкивания должна компенсировать силу притяжения:

.

Однако, эта система неустойчива, так как равенство справедливо только для стационарного состояния. Если же один из зарядов сместить, то система выйдет из состояния равновесия, в которое уже не вернется.

По этому поводу существует теорема Ирншоу, которая гласит, что существование устойчивой стационарной системы зарядов невозможно.

Идея доказательства состоит в нахождении потенциальной энергии системы и доказательстве того, что она не имеем минимума, откуда и следует неустойчивость системы.

Действительно, энергия системы может быть найдена как

.

Для системы электростатических зарядов

.

Тогда энергия запишется как

.

Для того, чтобы энергия системы имела минимум, необходимо, во-первых, чтобы все первые производные по координатам зарядов были равны нулю и, во-вторых, все вторые производные от потенциальной энергии были положительными.

Оказывается, что сумма всех вторых производных равняется нулю:

,

что автоматически означает отсутствие минимума потенциальной энергии. докажем, что это соотношение имеет место.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда и . Тогда производные берутся по "чужим" переменным и они всегда дают нуль.

В случае, когда или , тогда

.

Следовательно, вышеуказанное равенство действительно имеет место и минимума потенциальной энергии нет – существование устойчивой системы невозможно.

§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.

В дальнейшем мы будем рассматривать динамические устойчивые системы.

Замкнутой системой называется система островного типа, которая не теряет ни энергию, ни импульс, а также не получает их извне. Как известно, мощность можно записать как

,

где – вектор Пойнтинга.

Если вектор Пойнтинга равен нулю, то энергия не теряется, а претерпевает превращения внутри системы. Тогда и потери импульса

.

Если эти условия выполняются, то мы будем иметь закон сохранения энергии и импульса системы:

.

Очевидно, что

.

Эти законы можно объединить в один закон сохранения четырехмерного вектора импульса всей системы:

.

Если и объединяются в , то имеет место соотношение

,

где – суммарная масса в системе, где центр тяжести находится в состоянии покоя. С помощью этого соотношения можно найти массу системы:

,

тогда

–

масса динамической системы.

Так как масса системы есть инвариантная величина, проще всего ее выписать в системе покоя центра тяжести (центра инерции).

В случае одного электрона имеем:

.

Тогда выражение для массы примет вид

или, если расписать и ,

–

полевая масса. Обозначив полевую массу через , можно записать

.

Если заряд считать точечным, то и

.

Радиус электрона не может быть бесконечно малой величиной и его можно определить из условия, чтобы величина имела порядок массы самого электрона:

.

Определим из этого соотношения :

.

На расстояниях классическая электродинамика перестает работать.

Известно, что

.

В теореме Ирншоу было получено выражение

.

Получим его другим способом:

,

где – потенциал в точке, где находится -й заряд. Он создается в ней всеми остальными зарядами. В свою очередь

,

где – потенциал всех остальных зарядов в точке . То есть

.

Множитель появляется за счет того, что взаимодействие заряженных частиц является парным. В частности для случая двух зарядов имеем

–

потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов. Подставим это выражение в формулу для массы всей системы:

,

.

Распад системы влечет за собой рост кинетической энергии.