§2.7. Четырехмерный вектор спина.
Наряду с тензором спина для описания спиновых свойств можно ввести четырехмерный вектор спина вида
.
Этот вектор, также как и тензор, должен быть пространственноподобным:
=>
.
Найдем теперь инвариант этого четырехмерного вектора:
.
В системе покоя имеем
=>
.
Если четырехмерный вектор и тензор спина описывают одну и ту же величину, то эти инварианты для них должны быть одинаковыми:
.
Запишем также обратное и обратное соотношение:
.
Для тензора автоматически выполняется условие пространственноподобности:
.
Подставим
в определение
:
.
Здесь был использован тот факт, что
.
Убедимся теперь в том, что для четырехмерного вектора и для тензора одни и те же инварианты
.
.
Справедливость этого выражения становится очевидной, если учесть что
.
Покажем, что законы сохранения четырехмерного вектора спина являются следствием инвариантности преобразования координат из малой группы Лоренца.
.
Величина
характеризует повороты осей координат,
которые задаются четырехмерным вектором
.
Так как
,
,
а значит выражение
.
И есть закон сохранения спина. Это значит, повороты происходят в плоскости, перпендикулярной к четырехмерному вектору скорости, иначе говоря, это преобразования из малой группы Лоренца.
§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи – это уравнение движения спина во внешних электромагнитных полях. В некотором смысле, это аналог силы Лоренца.
Согласно гипотезе Уленбека-Гаудсмита, справедливы следующие утверждения:
Электрон имеет собственный механический момент за счет своего вращения, который равен
.
Электрон имеет собственный магнитный момент, равный магнетону Бора:
.
Векторы магнитного и механического моментов электрона пропорциональны друг другу:
.
Очевидно также, что они параллельны. Иначе последнее утверждение можно записать как
.
Следует заметить, что в этих соотношениях все величины взяты для случая покоящегося электрона.
С точки зрения современной квантовой электродинамики, значение магнитного момента все-таки немного отличается от магнетона Бора и его можно записать в виде
,
где
- аномальный магнитный момент электрона,
появляющийся за счет взаимодействия
электрона с электрон-позитронным
вакуумом. Если за
обозначит фактор Ланде, который для
электрона примерно равен двум, то это
выражение можно записать как
.
Аномальный магнитный момент впервые был подсчитан американским физиком Швингером в ??49 году. Швингер определил значение фактора Ланде как
,
где
- первая поправка. Здесь
- постоянная тонкой структуры:
.
Эта малая поправка играет большую роль в динамике электрона. В этом случае аномальный момент можно записать следующим образом:
.
Если же учесть, что
,
то
.
Согласно экспериментальным данным, фактор Ланде для электрона равен
(современные эксперименты дают колоссальную точность – до двенадцатого знака после запятой!).
Необходимо заметить, что в этих данных
добавка к магнитному моменту, хоть и
малая, но все же константа
.
Также, оказывается, что это утверждение справедливо лишь для слабых электромагнитных полей. Позже, в работе Бордовицына-Багрова-Чернова было показано, что магнитный момент электрона есть весьма сложная функция энергии электрона и величины магнитного поля.
Найдем теперь уравнение движения спина. Идея вывода состоит в том, что в начале определяется спина в системе покоя, а затем осуществляется ковариантный переход (или преобразования Лоренца) в лабораторную систему. Также делается предположение о том, что в системе покоя движение спина должно быть таким, чтобы оно не сопровождалось самопроизвольным выделением энергии.
Пусть
.
Прецессия есть движение, при котором одна компонента углового момента есть постоянная в течение всего времени величина, а две другие компоненты зависят от времени гармоническим образом, но в среднем равны нулю:
,
(рис. 2.3).
Прецессия единичного вектора описывается формулой Лармора:
,
где
.
Выведем формулу Лармора. Возьмем сначала
(рис. 2.4). Тогда
и
или
.
Вектор связи между вращающимся вектором
и углом поворота
.
Для получения формулы Лармора необходимо
продифференцировать это выражение по
времени:
.
Вернемся к описанию движения спина.
Роль прецессирующего вектора в нашем
случае играет вектор
,
а роль времени – собственное время
:
– уравнение прецессии спина в системе
покоя.
Частота
уже известна – она совпадает с частотой
обращения заряда в однородном
электромагнитном поле:
– циклотронная частота.
Так как мы рассматриваем спин электрона, нам нужен знак "минус" в определении циклотронной частоты. Также следует учесть, что электрон обладает аномальным магнитным моментом. Частота с учетом фактора Ланде может быть записана следующим образом:
.
На самом деле, тот факт, что частота прецессии спина электрона совпадает с частотой обращения заряда в электромагнитном поле, является весьма примечательным. Это означает, что электрон в ходе вращения постоянно обращен одной и той же стороной, если, конечно, допустить, что возможно различить разные стороны электрона. В этом смысле его движение схоже по характеру с движение Луны вокруг Земли.
З
десь
стоит отметить, что в случае, если бы
фактор Ланде равнялся бы в точности
двум, после полного оборота, совершенного
электроном в магнитном поле, его спин
был бы направлен в точности так же, как
и в начальный момент времени. Однако,
за счет того, что фактор Ланде лишь
весьма близок к двум, после полного
оборота спин направлен несколько иначе,
чем первоначально (рис. 2.5).
В таком случае формула Лармора запишется как
.
Разделим это выражение на
:
.
Запишем то же выражение в ковариантном виде:
.
Это – ковариантная форма записи прецессии спина в системе покоя.
Соответственно, в лабораторной системе
.
Необходимо проверить, верна эта формула или нет. Известно, что
.
=>
.
Действительно,
.
С этой точки зрения полученная формула верна.
С другой стороны, известно, что
должен быть пространственноподобным.
Несложно показать, что полученный таким
образом вектор спина пространственноподобным
не является, и спиновое уравнение
нуждается в поправке, добавка которой
удовлетворит свойствам четырехмерного
вектора спина без потери ковариантности.
Баргман, Мишель и Телледи предложили
поправку вида
,
где для выполнения второго условия
необходимо определить
так, чтобы второе условие выполнялось.
Из условия равенства нулю производной
от вышеупомянутого инварианта, для
было получено значение
.
В итоге, полученное уравнение
носит название уравнения Баргмана-Мишеля-Телледи.