2.6. Структура общего решения лнду 2-го порядка
Теорема 1. Общее решение ЛНДУ 2-го порядка
(6.1)
представляется
в виде суммы общего решения
соответствующего однородного уравнения
(6.2)
и
любого частного решения
уравнения (6.1).
Доказательство.
Докажем
сначала, что
будет решением уравнения (6.1). Для этого
подставим
в уравнение (6.1):
.
Это равенство
является тождеством, так как
и
.
Следовательно,
есть решение уравнения (6.1).
Докажем теперь, что это решение является общим, т.е. можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида:
,
. 
(6.3)
Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде:
,
где
и
– линейно независимые решения этого
уравнения.
Таким образом:
и, следовательно, начальные условия
(6.3) можно записать в виде:
или
(6.4)
Произвольные
постоянные
и
определяются из этой системы линейных
алгебраических уравнений однозначно
при любых правых частях, так как
определитель этой системы
есть значение определителя Вронского
для линейно независимых решений уравнения
(6.2) при
,
а такой определитель, как было указано
выше, отличен от нуля. Определив постоянные
и
из системы уравнений (6.4) и подставив их
в выражение
,
мы получим частное решение уравнения
(6.1), удовлетворяющее заданным начальным
условиям. Теорема доказана.
Теорема
2. Если
– решение дифференциального уравнения
,
а
– решение уравнения
,
то
функция
является решением уравнения
. (6.5)
Доказательство.
Подставив
функцию 
в уравнение (6.5), получим
.
Это равенство является тождеством, так как
и
.
Теорема доказана.
2.7. Решение лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью
Рассмотрим случай, когда коэффициенты в уравнении (6.1) постоянны, т.е. уравнение имеет вид:
,
(7.1)
где
.
Рассмотрим метод
отыскания частного решения
уравнения (7.1) в случае, когда правая
часть
имеет специальный
вид. Это метод называется методом
неопределённых коэффициентов
и состоит в подборе частного решения в
зависимости от вида правой части
.
Рассмотрим правые части уравнения (7.1)
следующего вида:
,
где
– многочлен степени
,
причём некоторые коэффициенты, кроме
,
могут равняться нулю. Укажем вид частного
решения в этом случае.
Если число
не является корнем характеристического
уравнения (5.2), то частное решение
записываем в виде:
,
где
– неопределённые коэффициенты, которые
подлежат определению методом неопределённых
коэффициентов.
Пример
1.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. Для
уравнения
составляем характеристическое уравнение:
.
Откуда получаем
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения есть
.
Правая часть
заданного уравнения
имеет специальный вид (случай 1), причём
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому частное решение ищем
в виде:
,
где A, B – неопределённые коэффициенты.
Найдём производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:
.
Сократим обе части
на
и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях x
в левой и правой частях равенства:
Из полученной
системы уравнений находим:
.
Тогда
,
а общее решение заданного уравнения
есть:
.
Если является корнем кратности
соответствующего характеристического
уравнения, то частное решение ищем в
виде:
,
где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат дальнейшему определению.
Пример
2.
Решить уравнение
.
Решение.
Соответствующее
характеристическое уравнение имеет
вид:
,
откуда
.
Тогда общее решение однородного уравнения
есть:
.
Правая
часть заданного уравнения имеет
специальный вид (случай 1).
Так как
является корнем характеристического
уравнения кратности
,
то частное решение ищется в виде:
.
Находим неопределённые
коэффициенты A,
B,
C
методом, изложенным в примере 1. В
результате получаем
.
Окончательно имеем следующее выражение
для общего решения:
.
Правая часть
,
где хотя бы одно из чисел M
и N
отлично от нуля. Укажем вид частного
решения в этом случае.
Если число
не является корнем характеристического
уравнения (5.2), то частное решение ищем
в виде:
,
где A, B – неопределённые коэффициенты.
Если число является корнем характеристического уравнения (5.2), причём кратность этого корня , то запишем частное решение в виде:
,
где A, B – неопределённые коэффициенты.
Пример
3.
Решить уравнение
.
Решение.
Корнями
характеристического уравнения для
являются комплексно-сопряженные числа
.
В этом случае общее решение этого
уравнения:
.
Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид:
,
где
,
а
.
Число
является корнем характеристического
уравнения кратности
,
поэтому частное решение исходного
уравнения примет вид:
.
Для
определения A
и B
находим
,
и подставляем в заданное уравнение:
.
Приводя
подобные члены, приравнивая коэффициенты
при
и
,
получаем следующую систему:
,
откуда
.
Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид:
.
,
где
и
–
многочлены степени p
и q
соответственно, причём один из этих
многочленов может равняться нулю.
Укажем вид частного решения в этом
общем случае.
Если число
не является корнем характеристического
уравнения (5.2), то вид частного решения
будет следующим:
, 
(7.2)
где
– неопределённые коэффициенты, а
.
Если число является корнем характеристического уравнения (5.2) кратности , то частное решение ЛНДУ примет вид:
, (7.3)
т.е.
частное решение вида (7.2) надо умножить
на
.
В выражении (7.3)
– многочлены с неопределёнными
коэффициентами, причём их степень
.
Пример 4. Указать вид частного решения для уравнения
.
Решение.
Характеристическое
уравнение имеет вид:
.
Его корни:
.
Общее решение ЛОДУ имеет вид:
.
Правая
часть заданного уравнения имеет
специальный вид (случай 3):
.
Число
является корнем характеристического
уравнения кратности
.
Коэффициент при
является многочленом первой степени,
а при
– нулевой степени, поэтому степень
многочленов с неопределёнными
коэффициентами надо брать
.
Итак, вид частного решения:
.
Коэффициенты A, B, C, D могут быть определены по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание.
Если правая часть уравнения (7.1) есть
сумма двух функций
,
причём каждая из функций
,
имеет специальный вид (случаи 1-3), то
частное решение
подбирается в виде суммы:
,
где
есть частное решение для уравнения с
правой частью
,
а
есть частное решение для уравнения с
правой частью
.
Аналогично находятся частные решения в случае, когда правая часть уравнения есть алгебраическая сумма конечного числа функций специального вида, рассмотренного в случаях 1-3.