Свободные колебания в недемпфированной системе.

Колебание подпрыгивания описывается уравнением

Условием свободных колебаний является равенство нулю правой части данного уравнения

Принимая , в связи с тем, что система без гасителя колебаний, получим уранение:

Разделим на m, и приняв получим уравнение:

– собственная частота недемпфированной системы, является внутренним параметром системы.

Решение данного уравнения при начальных условиях z(0) = z₀, :

– амплитуда начального воздействия.

Рисунок ( Свободные колебания в системе без гасителя)

Система с одной степенью свободы будучи выведена из положения равновесия малым возмущением, неограниченно долго будет совершать гармонические колебания.

С увеличением жесткости системы изменяется (увеличивается) собственная частота колебаний.

Рисунок. (Свободные колебания в системе без гасителя для разной жесткости рессорного подвешивания)

Свободные колебания в системе с гидравлическим гасителем колебаний.

Рассмотрим основы демпфирования применительно с одной степенью свободы. Уравнение свободных колебаний данной модели с учетом демпфирования имеет вид:

Разделим на m:

– коэффициент относительного затухания;

- коэффициент критического затухания.

- наименьшее значение коэффициента затухания, при котором движение системы перестает быть колебательным.

При свободное движение системы носит колебательный характер.

При движение системы перестает быть колебательным и становится апериодическим.

В зависимости от соотношения возможны три случая:

1. - случай малого сопротивления в системе.

Рисунок.

Колебания происходят с амплитудой убывающей по экспоненциальному закону, то есть силы сопротивления увеличивают период колебаний.

2. – случай большого сопротивления в системе.

Амплитуда колебаний быстро убывает к нулю по причине большого относительного затухания.

Рисунок

3. - случай критического сопротивления в системе.

Данный случай можно рассматривать как разновидность случая СС большим затуханием. Характер изменения функции этого процесса будет аналогичен графику для случая 2.

При рассмотрении свободных колебаний можно пренебрегать сопротивлением гасителя, однако его необходимо учитывать при определении амплитуды колебаний.

Система с демпфированием характеризуется двумя параметрами , свойства колебаний зависят от собственных свойств системы.

В зависимости от характера свободного движения возникающего под действием начальных возмущений, динамическая система может быть устойчивой, если значения обобщенных координат остаются ограниченными, или неустойчивой в противном случае.

Боковые колебания могут быть неустойчивыми, это происходит при превышении определенной скорости движения (критической). Вертикальные колебания экипажа всегда ограничены.

Матричная форма записи уравнений колебаний.

Рассмотрим систему с k степенями свободы (k –конечное). Колебания такой системы описываются системой дифференциальных уравнений общим числом k. В общем виде система дифференциальных уравнений может быть записана в прямой форме:

М – инерционная матрица;

В – диссипативная матрица

Ж – матрица жесткости;

Q – вектор обобщенных сил, зависящих от скорости движения и эквивалентной геометрической неровности;

- матрица – столбец (вектор) ускорений обобщенных координат;

- матрица – столбец (вектор) скоростей обобщенных координат;

Q – матрица – столбец обобщенных координат.

Если возмущение по обеим рельсовым нитям одинаковы, то Q находят путем линейного преобразования эквивалентной геометрической неровности:

η и - векторы k×1, элементы которых состоят из ординат неровностей и её производной;

– матрицы преобразований кинематических возмущений в обобщенную силу.

Модель вагона в этом случае можно свести к плоской и матричной форму записи уравнений удобно использовать в динамических моделях с количеством степеней свободы k >1.