9. Нахождение наиб. И наим. Знач. На компакте.

Пусть ф-я z=f(x;y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых т. D своего наиб. M и наименьшего m значений. Эти значения достигаются ф-ей в т., расположенных внутри обл. D, или в т., лежащих на границе области. Правило нахождения наиб. и наим. значений диф-ой в обл. D ф-ии z=f(x;y) сост. в след.:

1. найти все критические т. ф-ии, принадлеж. D, и вычислить знач ф-ии в них.

2. найти наиб. и наим. знач. ф-ии z=f(x;y) на границах обл.

3. сравнить все найденные знач. ф-ии и выбрать из них наиб. M и наим. m

9. Ои как предел интегральных сумм.

Рассмотрим ф.y=f(x),зависящую от х∈[a,b].Разобьём отрезок на n-частей.Выберем на каждом отрезке произвольную точку ξ_i.Значение ф.в точке (ξ_i)∙Δx_i,где Δx_i -длина каждого отрезка x_i-

x_i-1Составим интегральную сумму δ_n. Обозначим за диаметр разбиения d=max, Δx_i,i=1,…,n.Если предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора промежуточной точки ξ_i при d-->0.При этом предел конечен,то этот предел является ОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛОМ.

Геом. смысл.

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная ф-я y=f(x)≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком ф-ий y=f(x), снизу— осью Ox, сбоку – прямыми x=a и x=b , наз. криволинейной трапецией. Найдём площадь этой трапеции. Для этого отрезок [a;b] точками a=x₀, x₁,…, b=x_n(x₀<x₁<…<x_n) разобьём на n частичных отрезков [x_0­;x₁], [x₁;x₂],…, [x_n-1;x_n]. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i](i=1,2,…, n) возьмём произвольную точку c_i и вычислим значение ф-ии в ней. Умножим значение ф-ии f(c_i) на длину Δx_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение f(c_i)∙Δx_i равно площади прямоугольника с основанием Δx_i и высотой f(c_i). Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближ. равна площади S криволинейной трапеции. Итак, ОИ от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и сост. геом. смысл.

9. Основные св-ва интегралов.

а) Если c — постоянное число и ф-я f(x) интегрируема на [a;b], то с можно выносить из-поз знака ОИ.

б) Интеграл суммы = сумме интегралов.

в)

г) если ф-я f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то интеграл по всему отрезку = сумме интегралов по частям этого отрезка. (аддитивность ОИ)

12. Интегралы с переменным верхним пределом.

Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная ф-я F=F(x), действующей на отрезке [a;b], равна определённому интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a;b].

13. Формула Ньютона-Лейбница.

Если ф-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) —какая-либо её первообразная на [a;b] (F^’(x)=f(x)), то имеет место формула

13. Замена переменной в ОИ.

Если: 1) ф-я x=φ(t) и её производная x^’=φ^’(t) непрерывна при t Є [α;β];

2) множеством значений ф-ии x=φ(t) при t Є [α;β] является отрезок [a;b];

3) φ(α)=α и φ(β)=b,то

13. Интегрир. по частям в ОИ.

Если ф-ии u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула:

13. Несобст. интегралы по бесконечному промежутку.

несобственный инт.1-го рода:

если указанного предела не существует или он бесконечен, то говорят, что он расходится.

несобственный инт. с 2-мя бесконечными пределами определяются формулой:

13. Несобственные интегралы от неограниченных ф-ций. Примеры

Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при

. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел

. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

18. Вычисление площадей в декартовой.

или

18. Вычисление площадей в полярной системе.

18. Длина дуги кривой.

Длина дуги AB – предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наиб. звена её стремится к нулю.

18. Вычисление V тел по S поперечных сечений.

18. Вычисление V тел вращений.

18. Вычисление S пов. вращения.

18. Диф. уравнения 1-го порядка.

Это уравнения вида: F(x;y;y^’)=0

Если уравнение можно записать относительно , то его записывают:

Если в этом уравнении ф-я f(x;y) и её частная производная непрерывны в некоторой обл. D, содержащей т. (x₀;y_0­­), то сущ. единственное решение y=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении её условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через т. (x₀;y_0­­)

18. Диф. уравн. с раздел. переем.

Наиб. простым ДУ является уравн. вида:

P(x)∙dx+Q(y)∙dy=0

его общий интеграл:

18. Линейные диф. уравнения.

Уравнение наз. линейным, если его можно записать в виде: y^’+p(x)∙y=g(x)

Для их решения используются 2 метода: Бернулли и Лагранжа.

18. Диф. уравн., допускающие понижение степени.

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной( подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

1 тип: y^’’=f(x)

2 тип: y^’’=f(x;y^’)

3 тип: y^’’=f(y;y^’)

18. Диф. уравнения 2-го порядка.

Если ф-ии y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) являются частными решениями уравнения, то решением этого уравнения является также ф-я

y=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)

Если диф-мые ф-ии y_1­(x) и y₂(x) линейно зависимы на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно = 0

Если ф-ии y_1­(x) и y₂(x) – линейно независимые решения уравнения на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале никогда не обращается в нуль.

Если 2 частных решения y₁=y₁(x) и y₂=y₂(x) ЛОДУ образуют на интервале (a;b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является ф-я y=c₁y₁+c₂y_2.