46.Математическое моделирование случайных величин.

Модель – это материально или мысленно представляемый предмет, который в процессе познания или изучения замещает объект оригинала, сохраняя некоторые важные для исследования, типичные черты реального объекта.

Преимущества модели в процессе исследований состоят в следующем:

- модель доступней, чем реальный объект;

- эксперименты производятся с моделями в тех случаях, когда невозможно экспериментировать на реальных объектах(медицина, экономика, экология);

- модель выявляет наиболее существенные факторы, изучаемые свойства объекта;

-модель даёт возможность правильно управлять объектом;

-если объект исследования зависит от времени, то с помощью модели можно прогнозировать его дальнейшее состояние.

Цели:

- изучение свойств, структуры, законов развития реального объекта и его взаимодействие с окружающим миром;

- обучение и изучение методов управления объекта;

- создание прогнозов.

Математическое ожидание – процесс в котором модель сформулирована на языке математики.

47. Имитационное моделирование.

Под имитационной моделью изучаемой системы понимают комплекс программ для ПЭВМ, описывающий функционирование отдельных составляющих системы и правил взаимодействия между ними.

Построение модели состоит из этапов:

1. Формируются основные вопросы о поведении системы, которые требуется получить с помощью модели.

2. Из множества законов, управляющих поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы.

3. Формирование гипотез о функционирование объектов.

4. Гипотеза и законы выражаются в форме определённых математических соотношений, которые объединяются в формальное описание модели.

Методы имитационного моделирования:

1. Аналитический – процесс функционирования системы описан дифференциальными или интегро-дифференциальными управлениями.

2. Метод статистического моделирования(метод Монте-Карло).

3. Комбинированный (аналитико-статистический) – позволяет соединять достоинства аналитического и статистического методов моделирования.

48.Метод моделирования Монте-Карло.

Случайным числом называют число, располагающееся преимущественно внутри интервала 0, 1 α є [0,1]и полученное случайным образом.

Случайные величины можно получить различными способами:

- таблицы случайных чисел;

-генераторы случ.чисел;

-метод псевдослучайных чисел.

Обычным генератором случайных чисел является рулетка(вероятность попадания в любой сектор при вращении одинакова).

Числа получаемые по какой-либо формуле и имитирующие значения случ.величины у, называются псевдослучайными числами.

Допустим, что требуется вычислить какую ту неизвестную величину m.Попытаемся придумать такую случ.величину х, М(х)=m. Пусть при этом Д(х)=b². Рассмотрим n случайных величин х₁, х₂, …,х_n, распределения которых совпадают с распределением х.

Согласно центральной предельной теореме распределения суммы случ.величин х₁, х₂, …,х_n будет ≈ нормальным с параметрами а=n и σ²=n b².

Тогда имеет место соотношение вида:

Пример задачи решаемой методом Монте-Карло:

у

b ₂

y ₁ b

b ₁

a

a₁ x₁ a₂ x

Фигура задана системой неравенств:

Построим вокруг фигуры прямоугольник таким образом, чтобы вся фигура была внутри него. Пусть координаты прямоугольника: (а₁;b₁), (a₂;b₂).

Будем случайным образом кидать точки внутрь прямоугольника. Для этого нам понадобится 2 случ.числа для определения координат случ.точек(х,у).

Определим координаты точек след.образом:

где α₁ и α₂ є (0;1)-случ.числа.

очевидно, что любая точка х,у попадёт внутрь прямоугольника.

Будем кидать точки таким образом – 500, 1000, 5000, … раз. Постепенно точки будут покрывать его поверхность.

Допустим мы определим таким образом координаты n точек, а внутрь фигуры попадут m точек, тогда имеет место соотношение:

Решение:

Program pefig;

Var

x, y, A₁, A₂, B₁, B₂, L₁, L₂, S₁, S₂ :

Real;

G, N, M, K, I : Integer;

Begin

G:1;

While G=1 Do Begin

Writeln (‘ Введите координаты прямоугольника’);

Readln (A₁, A₂, B₁, B₂);

Writeln (‘Введите кол-во испытаний’);

Read (N);

M:=0;

For I:= то N Do

Begin

L₁:=Random;

L₂:=Random;

X:= A₁+( A₂- A₁)* L₁;

Y:= B₁+( B₂- B₁)* L₂;

IF (y>=1/3*x*x-2) And (3*x+2*y<=20) And (-7*x+8*y<=40)

Then M:=M+1;

End;

S₁:= ( A₂- A₁)* ( B₂- B₁);

S₂:= S₁*M/N;

Writeln (‘Площадь фигуры=’, S₂:4:2);

Writeln (‘Закончить работу с программой? 1-нет’);

Read(G)

End;

End.