Вопрос 5.3. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
1) Независимость криволинейного интеграла 1-го рода от направления обхода кривой
это свойство вытекает из того, что интегральные суммы не изменяются при изменении направления интегрирования.
2) Линейность
это свойство есть следствие линейности интегральных сумм и линейности предельного перехода.
3) Аддитивность
4) нормировка
‑ длина
кривой Г.
5) Геометрический смысл криволинейного интеграла 1‑го рода
,
‑ площадь цилиндрической поверхности,
ограниченной кривой Г
и графиком
Рис. 5.2. Геометрический смысл криволинейного интеграла 1-го рода.
Лекция № 6. Криволинейный интеграл.
Вопрос 6.1. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Определение
6.1. Пусть Г
плоская кусочно-гладкая кривая и пусть
на ней заданы две непрерывные функции
и
.
Разобьем кривую Г
на n
частей произвольным образом и на каждой
i-й
части выберем произвольным образом
точку с координатами
и
.
Составим две интегральные суммы:
,
где
и
координаты точек, которые разбивают
кривую на части. Пределы этих интегральных
сумм
,
.
будем называть криволинейными интегралами 2-го рода, если они не зависят от выбора промежуточных точек и способа разбиения их на части. Сумма этих интегралов называется общим криволинейным интегралом 2-го рода
.
Конец определения.
Рис. 1. К определению криволинейного интеграла 2-го рода.
Введем
новые обозначения. Пусть
‑ векторное поле и
Тогда общий криволинейный интеграл 2-го рода можно определить как предел интегральных сумм
В
этом определении используется скалярное
произведение векторов. Теперь можно
придать следующий физический смысл
криволинейному интегралу 2-го рода. Это
есть работа, которую совершает сила
,
перемещая точку вдоль плоской кривой
Г.
Если
Г
пространственная кусочно-гладкая
кривая и
,
,
‑ три непрерывных функции, заданных
на кривой Г,
то криволинейные интегралы определим
как предел следующих интегральных
сумм:
.
Перечислим без доказательства основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
1) Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов
2) Интеграл по кривой г, которая разбита на две части, равен сумме интегралов по каждой части.
.
3) При изменении направления интегрирования на противоположное знак интеграла изменяется на противоположный.
.
Вопрос 6.2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода через определенный интеграл.
Пусть
плоская кривая Г
задана на отрезке
параметрическими уравнениями
Разобьем
отрезок
на части точками
.
Тогда каждому значению параметра
будет соответствовать некоторая точка
на кривой Г.
По определению криволинейных интегралов
Так
как по формуле Лагранжа
,
,
то при стремлении
как
,
так и
.
Поэтому
Можно показать, что пределы этих интегральных сумм равны следующим определенным интегралам
Тогда для полного криволинейного интеграла получим выражение через определенный интеграл по параметру t
.
Пример 6.1.
Вычислить криволинейный интеграл 2-го
рода по окружности радиуса
,
обходя ее против часовой стрелки
Запишем параметрические уравнения окружности
и перейдем к определенному интегралу
.