Вопрос 15.4. Оценка суммы знакопостоянного ряда.

Пусть дана аналитическая функция, разложенная в ряд Тейлора

.

Первые n слагаемых входят в формулу Тейлора, следовательно, оставшиеся равны остаточному члену этой формулы

.

Так как для остаточного члена справедлива формула Лагранжа, то получим

.

Если справедлива оценка , где некоторая константа, то получаем оценку суммы

.

Пример 15.4. Вычислить с точностью до 0.01.

Представим , далее будем разлагать функцию в точке в ряд Маклорена, тогда и . Поэтому получим . Тогда для значения найдем

Следовательно

Конец примера.

Лекция № 16. Ряды фурье.

Вопрос 16.1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье.

Определение 16.1. Пусть дана система функций . Эта система функций называется ортогональной на отрезке с весом , если для всех выполнено условие

.

Определение 16.2. Скалярным произведением функций и на отрезке с весом называется число

.

Так определенное скалярное произведение обладает обычными свойствами скалярного произведения векторов

1)  ,

2)  ,

3)  .

Из определения скалярного произведения следует, что ортогональная система функций обладает свойством .

Определение 16.3. Нормой функции на отрезке называется неотрицательное число, квадрат которого равен

.

Таким образом, норма и скалярное произведение функции связаны соотношением .

Пример 16.1. Вычислим квадрат нормы функции , n ‑ целое, , на отрезке с весом .

Пусть n=0, тогда и . Пусть , тогда

Аналогично показывается, что .

Конец примера.

Определение 4. Ортогональная система функций называется ортонормированной, если нормы всех ее функций равны 1.

Ортогональную систему функций легко преобразовать в ортонормированную

.

Теорема 16.1. Тригонометрическая система функций

.

ортогональна на отрезке с весом .

Доказательство. Покажем вначале, что функция ортогональна всем остальным функциям тригонометрической системы

Покажем теперь, что функции и ортогональны для всех n и m. Пусть , тогда

где учтено, что тригонометрические функции имеют период . Пусть теперь , тогда

.

Пусть снова

Конец доказательства.

Пусть некоторая функция разложена в ряд по ортогональной системе с весом

.

Найдем коэффициенты разложения этой функции. Для этого умножим в смысле скалярного произведения равенство слева и справа на функцию

Тогда с учетом ортогональности системы получим

откуда

, n=1,2,3,...

Определение 16.5. Ряд , коэффициенты которого вычисляются по формулам , называется рядом Фурье относительно ортогональной системы функции .

Вопрос 16.2. Тригонометрические ряды Фурье. Условия разложимости функции в ряд Фурье.

Определение 16.6. Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке называется ряд

,

где

N-я частичная сумма называется тригонометрическим многочленом. Функция имеет ряд Фурье, если она является кусочно-непрерывной на отрезке . При этом справедлива

Лемма 16.1(Римана-Лебега). Если функция кусочно-непрерывна на отрезке , то .

Лемма приводится без доказательств.

Если функция имеет тригонометрический ряд Фурье, то этот ряд может быть расходящимся, или сходится к другой функции. Условия сходимости ряда Фурье даются теоремой

Теорема 16.3. Если функция кусочно-непрерывная на отрезке и в каждой точке отрезка имеет правую и левую производные, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Причем, если x точка непрерывности , то ряд сходится к . Если или , то ряд сходится к . Если x ‑ точка разрыва, то ряд сходится к .

Теорема приводится без доказательства.

Замечание 16.1. Ряд Фурье является периодической функцией с периодом .

Пример 16.2. Разложить на отрезке , , .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

{ интегрируем по частям}=

, n=1,2,3,...

{ интегрируем по частям}=

Отсюда, согласно теореме 16.3, получим

(в этих точках сумма ряда = 0).

Если положить здесь , то получим .

Конец примера.