
- •Часть 3
- •Лекция № 1. Двойные интегралы.
- •Вопрос 1.1. Двойные интегралы на прямоугольниках и их свойства.
- •Вопрос 1.2. Вычисление двойного интеграла через повторные интегралы.
- •Вопрос 1.3. Двойные интегралы для произвольных областей интегрирования.
- •Лекция № 2. Двойные интегралы.
- •Вопрос 2.1. Замена переменных в двойном интеграле.
- •1) Полярная система координат (см. Рис. 1):
- •2) Обобщенные полярные координаты:
- •Вопрос 2.2. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
- •Лекция № 3. Тройные интегралы.
- •Вопрос 3.1. Тройные интегралы на прямоугольных параллелепипедах и их свойства.
- •Вопрос 3.2. Вычисление тройного интеграла через повторные интегралы.
- •Вопрос 3.3. Тройные интегралы для произвольных областей.
- •Лекция № 4. Тройные интегралы.
- •Вопрос 4.1. Замена переменных в тройном интеграле.
- •2) Сферические координаты
- •Вопрос 4.2. Геометрические и физические приложения тройного интеграла.
- •1) Вычисление объемов тел .
- •2) Масса тела с плотностью .
- •3) Заряд тела с плотностью заряда . Лекция n 5. Криволтнейные интегралы.
- •Вопрос 5.1. Криволинейный интеграл 1-го рода.
- •Вопрос 5.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода через определенный интеграл.
- •Вопрос 5.3. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
- •Лекция № 6. Криволинейный интеграл.
- •Вопрос 6.1. Криволинейный интеграл 2-го рода.
- •2) Интеграл по кривой г, которая разбита на две части, равен сумме интегралов по каждой части.
- •Вопрос 6.2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода через определенный интеграл.
- •Вопрос 6.3. Формула Грина и ее приложения.
- •Лекция № 7. Поверхностные интегралы.
- •Вопрос 7.1. Определение гладкой поверхности. Ориентация и нормаль.
- •Вопрос 7.2. Поверхностный интеграл первого рода.
- •Вопрос 7.3. Вычисление поверхностного интеграла 1-го через двойной интеграл.
- •Лекция № 8. Поверхностные интегралы.
- •Вопрос 8.1. Поверхностные интегралы 2-го рода.
- •Вопрос 8.2. Вычисление поверхностного интеграла через двойной интеграл.
- •Вопрос 8.3. Стационарные скалярные и векторные поля.
- •Вопрос 8.4. Векторные линии и векторные трубки стационарных векторных полей.
- •Лекция № 9. Теория поля.
- •Вопрос 9.1. Градиент скалярного поля.
- •Вопрос 9.2. Дивергенция векторного поля.
- •Вопрос 9.3. Формула Гаусса-Остроградского.
- •Лекция № 10. Теоря поля.
- •Вопрос 10.1. Ротор векторного поля.
- •Вопрос 10.2. Формула Стокса.
- •Вопрос 10.3. Интегральные теоремы, содержащие градиент.
- •Вопрос 10.4. Классификация векторных полей.
- •Лекция № 11. Числовые ряды.
- •Вопрос 11.1. Бесконечные числовые ряды. Сходимость. Сумма числового ряда.
- •Вопрос 11.2. Свойства сходящихся рядов.
- •Вопрос 11.3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- •Лекция №12. Числовые ряды.
- •Вопрос 12.1. Интегральный признак сходимости.
- •Вопрос 12.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды. Безусловная и условная сходимость. Теорема Римана.
- •Вопрос 12.3. Признак сходимости Лейбница.
- •Лекция № 13. Функциональные ряды.
- •Вопрос 13.1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость.
- •Вопрос 13.2. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость суммы равномерно сходящихся рядов.
- •Лекция №14. Степенные ряды.
- •Вопрос 14.1. Степенные ряды. Основные определения и понятия.
- •Вопрос 14.2. Ряды Тейлора и Маклорена.
- •Лекция № 15. Степенные ряды.
- •Вопрос 15.1. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов.
- •Вопрос 15.2. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов.
- •Вопрос 15.3. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
- •Вопрос 15.4. Оценка суммы знакопостоянного ряда.
- •Лекция № 16. Ряды фурье.
- •Вопрос 16.1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье.
- •Вопрос 16.2. Тригонометрические ряды Фурье. Условия разложимости функции в ряд Фурье.
- •Лекция №17. Ряды фурье.
- •Вопрос 17.1. Разложение функций в ряд по синусам или по косинусам.
- •Вопрос 17.2. Тригонометрические ряды Фурье в комплексной форме.
- •Лекция № 18. Интеграл фурье.
- •Вопрос 18.1. Интеграл Фурье. Косинус и синус - преобразование Фурье.
- •Вопрос 18.2. Интеграл Фурье в комплексной форме.
- •Список литературы
Вопрос 3.2. Вычисление тройного интеграла через повторные интегралы.
Пусть функция задана на прямоугольном параллелепипеде
,
тогда повторными интегралами называются интегралы вида:
Теорема 3.1.(Фубини). Если функция непрерывна на Q, то справедлива цепочка равенств
Эта теорема приводится без доказательства. Она дает практический способ вычисления тройного интеграла.
Пример 3.1.
.
Конец примера.
Вопрос 3.3. Тройные интегралы для произвольных областей.
Пусть
M
есть произвольная область в пространстве
(см. рис. 2) Пусть Q
прямоугольный параллелепипед, содержащий
область M.
Определим функцию
Рис. 2 Тройной интеграл по произвольному множеству.
Тогда по определению интегралом от функции по множеству M называется интеграл
Если
существует интеграл
,
то число V(M)
называется объемом области M,
а область M
называется измеримой. Справедлива
теорема:
Теорема 3.2. Если ограниченная, замкнутая область M имеет кусочно-гладкую границу, то она измерима и любая кусочно-непрерывная функция интегрируема на области M.
Для тройных интегралов справедливы следующие свойства (в добавление к свойствам 3.1 – 3.8, где нужно заменить Q на M):
1)
,
если M
кусочно-гладкая поверхность.
2)
,
если пересечение
и
пусто или есть кусочно-гладкая
поверхность.
3)
Обобщенная теорема Фубини. Пусть М
есть цилиндр и D
его проекция. Пусть цилиндр M
ограничен графиками непрерывных функций
,
тогда существуют тройной и повторный
интегралы и они равны (см. рис. 3)
.
Доказательство. Пусть Q прямоугольный параллелепипед, содержащий M (см. рис.3), тогда по определению
где
учтено, что
,
если точка
не принадлежит M.
Конец доказательства.
Рис. 3. К доказательству обобщенной теоремы Фубини.
Пример 3.2. Вычислить
интеграл от функции
по множеству
(см. рис. 4)
Рис. 4. К примеру 3.2.
.
Конец примера.
Лекция № 4. Тройные интегралы.
Вопрос 4.1. Замена переменных в тройном интеграле.
Пусть D множество точек и сделана замена переменных
где
пробегает некоторое множество M,
тогда если функции
,
и
непрерывно дифференцируемы, и каждой
тройке
соответствует
только одна тройка
,
то справедлива формула замены переменных
в тройном интеграле
где
‑ якобиан
отображения.
Замечание
4.1. Формулы
,
,
называются отображением. Отображение,
о котором речь шла выше, называется
непрерывно дифференцируемым и взаимно
однозначным.
Замечание 4.2. Если отображение , , взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо, то его якобиан .
Рассмотрим замену переменных в различных системах координат.
1) Цилиндрическая система координат (см. рис. 1)
Вычислим
ее якобиан
:
Рис. 4.1. Цилиндрическая система координат.
Тогда формула замены переменных в цилиндрической системе координат имеет вид
Замечание 4.3. Цилиндрические координаты удобно использовать, если область интегрирования представляет собой цилиндр или его часть. Тогда в цилиндрической системе координат область интегрирования будет прямоугольным параллелепипедом.
Пример
4.1. Вычислить
интеграл
.
Область интегрирования есть цилиндр радиуса 2. Поэтому перейдем в цилиндрическую систему координат
область изменения находится из неравенства
Область
изменения координаты
не зависит от координаты ,
поэтому в цилиндрической системе
координат получаем в качестве области
интегрирования прямоугольный
параллелепипед
.
Конец примера.