Вопрос 1.2. Вычисление двойного интеграла через повторные интегралы.

Пусть функция задана на прямоугольнике , тогда повторными интегралами называются интегралы вида:

или .

Теорема 1.1. (Фубини). Если функция определена и непрерывна на прямоугольнике Q, то справедлива цепочка равенств

.

Эта теорема приводится без доказательства. Она дает практический способ вычисления двойного интеграла.

Пример 1.1.

.

Конец примера.

Вопрос 1.3. Двойные интегралы для произвольных областей интегрирования.

Пусть M есть произвольная область на плоскости (см. рис. 3). Пусть Q ‑ прямоугольник, содержащий область M. Определим функцию

тогда по определению интегралом от функции по множеству M называется интеграл

.

Если существует интеграл , то число S(M) называется площадью области M, а область M называется измеримой. Справедлива теорема:

Теорема 1.2. Если ограниченная, замкнутая область M имеет кусочно-гладкую границу, то она измерима и любая кусочно-непрерывная функция интегрируема на области M.

Эта теорема приводится без доказательства.

Для двойных интегралов справедливы следующие свойства (в добавлении к свойствам 1.1 – 1.7), где нужно заменить :

1) если M кусочно-гладкая кривая.

2) , если пересечение пусто или есть кусочно-гладкая кривая.

3) Обобщенная теорема Фубини. Пусть M есть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми , , и графиками кусочно-непрерывных функций , тогда существует двойной и повторный интегралы и они равны между собой (см. рис. 4)

.

Доказательство. Пусть Q - прямоугольник, содержащий M (см. рис. 4). Тогда по определению .

Но так как , если точка не принадлежит M, то , отсюда следует, что .

Конец доказательства.

Пример 1.2. Вычислить интеграл от функции на множестве .

.

Конец примера.

Лекция № 2. Двойные интегралы.

Вопрос 2.1. Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть D множество точек и сделана замена переменных

где пробегает некоторое множество W, тогда если функции и непрерывно дифференцируемые, и каждой паре соответствует только одна пара , то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле

где

- якобиан или определитель Якоби.

Замечание 2.1. Формулы называются отображением. Отображение, о котором речь шла выше, называется непрерывно дифференцируемым и однозначным.

Замечание 2.2. Если отображение взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо, то его якобиан .

Рассмотрим замену переменных в различных системах координат.

1) Полярная система координат (см. Рис. 1):

Вычислим ее якобиан :

.

Тогда формула замены переменных в полярной системе координат имеет вид:

.

Замечание 2.3. Полярные координаты удобно использовать, если область интегрирования представляет собой круг, круговой сектор, кольцо или кольцевой сектор. Тогда в полярной системе координат область интегрирования будет прямоугольником.

Пример 2.1. Вычислить интеграл.

Область изменения  находится из неравенства

.

Область изменения координаты j не зависит от координаты , поэтому в полярной системе координат получаем в качестве области интегрирования прямоугольник .

Конец примера.