Лекция №17. Ряды фурье.

Вопрос 17.1. Разложение функций в ряд по синусам или по косинусам.

Теорема 17.1. Если на отрезке функция четная, то все коэффициенты ряда Фурье , то есть функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам.

Доказательство. Для четной функции . Тогда

Конец доказательства.

Определим теперь коэффициенты

Итак, если четная функция, то

Теорема 17.2. Если на отрезке функция нечетная, то все коэффициенты ряда Фурье , то есть функция разлагается в ряд Фурье только по синусам.

Доказательство. Для нечетной функции . Тогда

Конец доказательства.

Определим теперь коэффициенты

Итак, если функция нечетная, то

Из полученных результатов следует, что можно разложить функцию в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам. Действительно, пусть функция задана на отрезке . Продолжим ее на отрезок четным образом, тогда функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам

.

Продолжим теперь функцию нечетным образом на отрезок , тогда функция разлагается в ряд Фурье только по синусам

.

Пример 17.1. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам на отрезке .

Согласно выше приведенным формулам разложение имеет вид

Вычислим коэффициенты

.

Таким образом

.

Конец примера.

Вопрос 17.2. Тригонометрические ряды Фурье в комплексной форме.

Пусть функция разложена в ряд Фурье на отрезке

.

Согласно формулам Эйлера

Отсюда получаем

Подставим эти формулы в ряд Фурье

,

.

Введем обозначения

.

тогда получаем ряд Фурье в комплексной форме:

.

Получим теперь выражения для коэффициентов:

Аналогично

Таким образом

.

Пример 17.2. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме на отрезке .

Вычислим коэффициенты ряда Фурье, и интегрируя дважды по частям:

.

Тогда получаем следующее разложение, сходящееся для всех x

Конец примера.

Лекция № 18. Интеграл фурье.

Вопрос 18.1. Интеграл Фурье. Косинус и синус - преобразование Фурье.

Пусть на отрезке длиной функция разложена в ряд Фурье

,

,

Если ряд Фурье сходится к функции , то эта функция периодичная с периодом L. Устремим теперь l к бесконечности, считая, что . Тогда

и

.

Подставляя сюда значения для коэффициентов и , получим

.

Пусть , тогда и выражение напоминает предел интегральных сумм

Поэтому следует ожидать, что этот предел будет равен

,

где

,

.

Выражение для функции называется интегралом Фурье, функции и называются соответственно косинус и синус преобразованиями Фурье. Разложение в интеграл Фурье непериодической функции является аналогом разложения в ряд Фурье периодической функции. Из приведенных выше формул следует, что если функция по модулю интегрируема на всей вещественной оси, то существует как косинус, так и синус преобразование Фурье. Однако при этом интеграл Фурье может сходиться к другой функции, или расходиться. Сформулируем условия сходимости интеграла Фурье.

Теорема 18.1. Пусть функция кусочно-непрерывна на любом отрезке и имеет всюду левую и правую производные. Тогда, если сходится интеграл

,

то сходится и интеграл Фурье, причем в точках непрерывности

,

а в точках разрыва

.

Конец теоремы.

Теорема 18.2. Если четная функция, то синус-преобразование Фурье .

Доказательство. Разобьем интеграл на две части

,

и в первом сделаем замену переменных . Тогда получим

Конец доказательства.

Теорема 18.3. Если нечетная функция, то косинус-преобразование Фурье .

Доказательство. Разобьем интеграл на две части

,

и в первом сделаем замену переменных . Тогда получим

Конец доказательства.

Пример 18.1. Разложить в интеграл Фурье функцию

Так как это четная функция, то синус-преобразование Фурье равно . Вычислим косинус-преобразование

.

Таким образом, получаем

Конец примера.