Вопрос 14.2. Ряды Тейлора и Маклорена.

Рассмотрим некоторый степенной ряд, сумма которого равна

.

Вычислим производные

Подставляя , получим

.

Отсюда получаем формулу . Таким образом, степенной ряд можно переписать в виде

Полученный ряд называется рядом Тейлора. Если , то ряд называется рядом Маклорена. Итак, любой степенной ряд можно представить в виде ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение функций , , , , в ряд Маклорена.

1) .

Вычислим последовательно

Следовательно,

.

Радиус сходимости этого ряда .

2) .

Вычислим последовательно

Следовательно,

.

Радиус сходимости этого ряда R=+¥.

3) .

Разложение легко получить дифференцированием ряда для

.

Радиус сходимости этого ряда .

Аналогичным образом, легко получить следующие разложения:

,

и

Лекция № 15. Степенные ряды.

Вопрос 15.1. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов.

Пусть функция в окрестности точки a разлагается в ряд Тейлора:

.

Зададим некоторое значение аргумента x и вычислим ее значение как сумму числового ряда с заданной точностью.

Пример 15.1. Пусть дана функция и требуется вычислить ее значение при с точностью до . Разложим функцию в ряд Маклорена и подставим значение

Полученный числовой ряд является знакочередующимся и для него справедлива формула

,

или

.

Тогда подберем такое значение n, чтобы выполнялось неравенство

.

Для этого вычислим первые члены ряда

,

,

,

,

,

.

Таким образом, получим сумму S с точностью до 0,001

.

Конец примера.

Вопрос 15.2. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов.

Пусть дан следующий интеграл , где аналитическая функция. Разложим эту функцию в степенной ряд

Пусть отрезок лежит внутри области сходимости степенного ряда, тогда ряд можно почленно проинтегрировать, так как степенной ряд сходится на равномерно

.

Тогда вычисление интеграла свелось к вычислению суммы числового ряда.

Пример 15.3. Вычислить интеграл с точностью до 0.001.

Так как

то, подставляя , получим, что

.

Этот степенной ряд сходится равномерно на любом конечном отрезке и поэтому его можно почленно проинтегрировать. Тогда получим знакочередующийся ряд.

.

Этот ряд автоматически будет сходящимся и как и выше найдем его сумму, оценивая n-й член ряда

Тогда интеграл будет равен

.

Конец примера.

Вопрос 15.3. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Рассмотрим задачу Коши

Будем искать решение задачи в виде ряда Маклорена

.

Из начального условия находим , а из уравнения находим . Остальные коэффициенты ряда находим последовательным дифференцированием самого уравнения

,

и т.д.. На практике часто производные из-за правой части уравнения быстро усложняются, и тогда удается вычислить только несколько первых членов ряда.

Пример 15.3. Решить уравнение с начальным условием .

Находим , , далее дифференцируем

,

,

,

……………………………………………,

,

,

Тогда последовательно получим

Следовательно

.

Конец примера.