Лекция № 1. Двойные интегралы.
Вопрос 1.1. Двойные интегралы на прямоугольниках и их свойства.
Пусть
функция
задана на прямоугольнике
.
Разобьем отрезки
и
точками
.
Рис. 1. Разбиение прямоугольника Q.
и проведем через точки разбиения прямые, параллельные соответствующим осям. Тогда прямоугольник Q будет разбит на nm прямоугольников разбиения. Возьмем один из прямоугольников разбиения
.
Под его диаметром будем понимать диагональ длиной
.
Определение 1.1. Диаметром разбиения T прямоугольника Q называется максимальный диаметр прямоугольника разбиения
.
Конец определения.
На
каждом прямоугольнике разбиения
выберем
некоторую точку
.
Тогда интегральной суммой функции
называется
число
,
где
площадь прямоугольника разбиения
.
Определение 1.2. Двойным интегралом от функции называется число, равное пределу интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к 0, если этот предел не зависит от выбора точек :
.
Конец определения.
Двойной (двукратный) интеграл по прямоугольнику Q обозначается символом
.
Геометрический
смысл двойного интеграла:
если
,
то
есть объем фигуры, основанием которой
служит прямоугольник Q
и которая сверху ограничена графиком
функции
(см. рис. 2).
Рис. 2. Геометрический смысл двойного интеграла.
Рассмотрим теперь свойства двойного интеграла:
Свойство 1.1. Если функция интегрируема на прямоугольнике Q, то она ограничена (так же как и для определенных интегралов).
Доказательство.
Предположим, что функция
интегрируема, но неограниченна на
прямоугольнике Q.
Тогда, если T
‑ некоторое разбиение прямоугольника
Q,
то хотя бы на одном из прямоугольников
разбиения функция
неограниченна, и за счет выбора
промежуточных точек
можно
сделать интегральную сумму сколь угодно
большой. Но тогда не может существовать
предел такой суммы.
Конец доказательства.
Свойство 1.2. (Приводится без доказательства). Если функция кусочно-непрерывная на прямоугольнике , то она интегрируема.
Свойство 1.3. (Условие нормировки):
(
‑ площадь прямоугольника Q).
Это свойство очевидно.
Свойство 1.4. (Линейность двойного интеграла).
Свойство 1.5. (Неотрицательность
двойного интеграла). Если
,
то и
.
Следствие
1.1. Если
,
то и
.
Доказательство.
Из неравенства
следует, что
,
тогда согласно свойству 1.5
,
откуда получаем, что
.
Конец доказательства.
Свойство 1.6.
Если функция
‑ интегрируема, то интегрируем и
модуль функции
,
причем выполняется неравенство
Доказательство.
Без доказательства примем тот факт, что
из интегрируемости модуля функции
следует интегрируемость самой функции.
Неравенство легко доказать, если
заметить, что
.
Тогда интегрируя это неравенство получим
,
что эквивалентно доказываемому
неравенству.
Свойство 1.7. (Теорема о среднем значении). Если ‑ непрерывна на прямоугольнике Q, то существует такая точка P из прямоугольника Q, что
.
Это свойство приводится без доказательства.
Свойство 1.8.
(Аддитивность двойного интеграла). Если
прямоугольник Q
разбит на две части
и
прямой, параллельной оси X
или оси Y,
то
.
Это свойство приводится без доказательства.