Лекция №14. Степенные ряды.

Вопрос 14.1. Степенные ряды. Основные определения и понятия.

Определение 14.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

.

Числа называются коэффициентами числового ряда. Величина b называется центром интервала сходимости.

Конец определения.

Частичные суммы степенного ряда ‑ это многочлены. Степенные ряды обладают рядом очень важных свойств, которые отсутствуют у произвольного функционального ряда. Например, любой степенной ряд сходится хотя бы в одной точке . Справедлива следующая теорема:

Теорема 14.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится для некоторого значения , то он сходится абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству . Если степенной ряд расходится для некоторого , то он расходится для всех x удовлетворяющих неравенству .

Доказательство. Пусть ряд сходится для некоторого значения . Рассмотрим число x такое, что . Тогда преобразуем ряд

.

В силу сходимости степенного ряда в точке получим, что . Следовательно, справедливо неравенство , где C>0 некоторая константа. Поэтому

.

Таким образом, ряд сходится абсолютно. Вторая часть теоремы доказывается от противного. Если ряд расходится в точке и, допустим, что при некотором значении x, удовлетворяющем неравенству , ряд сходится, то согласно первой части теоремы он должен сходиться и в точке . Следовательно, вторая часть теоремы тоже справедлива.

Конец доказательства.

Следствие 14.1 (Из теоремы Абеля). Для любого степенного ряда существует величина , называемая радиусом сходимости, такая, что для всех x таких, что ряд сходится, а для всех x таких, что ряд расходится.

Доказательство. Пусть и в точке степенной ряд сходится. Пусть и в точке степенной ряд расходится. Поделим отрезок пополам . Если в точке ряд сходится, то переопределим концы отрезка следующим образом , , в противном случае переопределим концы отрезка иначе , . Теперь длина отрезка уменьшится в два раза. Продолжая этот процесс деления дальше, получим в пределе некоторое число R, такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству |, ряд сходится, а для любого x, удовлетворяющего неравенству ряд расходится. Аналогично рассматривается случай, когда и .

Любой степенной ряд имеет хотя бы одну точку сходимости. В этом случае положим радиус сходимости равным . В другом крайнем случае, когда ряд сходится для любого значения x, положим .

Конец доказательства.

Следствие 14.2. Область сходимости степенного ряда есть промежуток (то есть или интервал, или полуинтервал, или отрезок).

Доказательство. Так как вне интервала ряд расходится, то к области сходимости могут еще относиться точки .

Конец доказательства.

Следствие 14.3. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке из области сходимости степенного ряда.

Доказательство этого факта прямо следует из теоремы Абеля и признака Вейерштрасса.

Конец доказательства.

Теорема 14.2. Пусть существует один из пределов или , тогда радиус сходимости степенного ряда равен R.

Доказательство. Пусть существует первый предел. Тогда применим признак Даламбера . Ряд будет сходиться, если и расходится в противном случае. Таким образом, R ‑ радиус сходимости. Используя радикальный признак сходимости Коши можно доказать вторую формулу.

Конец доказательства.

Пример 14.1. Исследовать на сходимость степенной ряд .

Определим радиус сходимости степенного ряда . Следовательно, интервал сходимости или . Исследуем сходимость в граничных точках и .

, ‑ расходится (гармонический ряд).

, ‑ сходится по признаку Лейбница.

Следовательно, область сходимости степенного ряда .

Конец примера.