Лекция № 10. Теоря поля.

Вопрос 10.1. Ротор векторного поля.

Напомним, что циркуляцией векторного поля по кусочно-гладкой кривой Г называется криволинейный интеграл 2-го рода при условии, что кривая обходится в положительном направлении, то есть против часовой стрелки

.

Введем теперь определение ротора поля в точке M.

Определение 10.1. Пусть в окрестности точки M определено векторное поле . Зададим единичный вектор с началом в точке M. Пусть через точку M проведена плоскость перпендикулярно этому вектору и Г есть кусочно-гладкий контур, окружающий точку M в пределах указанной окрестности (см. рис. 1). Пусть d есть максимальное расстояние между точками контура и S ‑ его площадь. Тогда проекцией ротора векторного поля на вектор называется предел отношения циркуляции к площади контура

.

Конец определения.

Рис. 10.1. К определению ротора векторного поля.

Для полного определения ротора векторного поля нужно знать три его проекции на орты . Справедлива следующая теорема:

Теорема 10.1. Пусть ‑ гладкое векторное поле. Тогда в каждой точке области D, на которой определено это поле, существует ротор поля, который в декартовой системе имеет координаты

Из этой теоремы следует, что в декартовой системе координат ротор векторного поля можно представить в виде символического определителя

.

Циркуляция векторного поля, деленная на площадь контура, называется средним значением мощности вихря в точке M. Таким образом, ротор поля в точке характеризует мощность вихря в данной точке поля.

Пример 10.1. Пусть жидкость вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью w вокруг оси с единичным вектором n. Вычислить ротор поля скоростей этой жидкости.

Поле скоростей вращающейся жидкости определяется формулой , где - радиус вектор точки жидкости. Тогда

.

Так как

,

то

.

Аналогично найдем

Отсюда .

Конец примера.

Вопрос 10.2. Формула Стокса.

Используя определение ротора векторного поля, несложно доказать тем же методом, что и теорему Гаусса-Остроградского теорему Стокса:

Теорема 10.2. Пусть на области D задано гладкое векторное поле . Пусть в области D дана кусочно-гладкая незамкнутая и ориентируемая поверхность без самопересечений S, ограниченная кусочно-гладким контуром. Если контур обходится против часовой стрелки с верхней стороны поверхности, то справедлива формула Стокса

,

то есть циркуляция векторного поля равна потоку ротора этого поля через верхнюю сторону поверхности, ограниченной контуром.

Формула Стокса обобщает формулу Грина на случай пространственного контура и криволинейной поверхности. Действительно, пусть Г ‑ плоский контур, лежащий в плоскости x, y и S ‑ плоское множество, тогда . Поэтому и мы получаем формулу Грина

.

Приведем следующие важные следствия из теоремы Стокса.

Следствие 10.1. (Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от кривой).

Пусть в пространственной области D задано гладкое векторное поле . Тогда для независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы на области D

.

Доказательство следствия аналогично доказательству соответствующего следствия из формулы Грина.

Следствие 10.2. Пусть в некоторой области D задано гладкое векторное поле , такое что . Тогда его векторные линии (линии тока) не могут быть замкнутыми.

Доказательство. Предположим противное. Пусть в области D имеются замкнутые векторные линии. Тогда обозначим произвольную замкнутую векторную линию через Г и вычислим циркуляцию, переходя к определенному интегралу.

,

где учтено, что для векторной линии . Но с другой стороны, из формулы Стокса вытекает, что

.

Из полученного противоречия следует, что в таком поле не существует замкнутых векторных линий.

Конец доказательства.