Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Кафедра общей математики

И.В. Терещенко И.В., А.В. Братчиков

М А Т Е М А Т И К А

Часть 3

Конспект лекций для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей

Краснодар

2006

УДК:

Математика. Часть 3:

Конспект лекций/И.В. Терещенко, А.В. Братчиков; Кубан. гос. технол. ун-т.-Краснодар : Издательство КубГТУ, 2006.-96с.

ISBN………..

Рассмотрены основные вопросы курса математики по разделам «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы», «Элементы теории поля», «Числовые и функциональные ряды», «Ряды Фурье и интеграл Фурье», изучаемые в третьем семестре.

Предназначено для студентов заочной формы обучения факультета Нефти, Газа и Энергетики всех специальностей.

Ил. 10. Библиог.: 21 назв.

Рецензенты: канд. тех. наук, Доцент Л.М. Данович;

д-р тех. наук, профессор Г.Т. Вартумян

© Кубанский государственный технологический университет, 2006

С О Д Е Р Ж А Н И Е

ЛЕКЦИЯ № 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. …………………………….6

Вопрос 1.1. Двойные интегралы на прямоугольниках и их свойства. …..6

Вопрос 1.2. Вычисление двойного интеграла через повторные интегралы. …………………………………………………………………...9

Вопрос 1.3. Двойные интегралы для произвольных областей интегрирования. …………………………………………………………....10

ЛЕКЦИЯ № 2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. …………………...………12

Вопрос 2.1. Замена переменных в двойном интеграле. …………………12

Вопрос 2.2. Геометрические и физические приложения двойного интеграла. …………………………………………………………………..14

ЛЕКЦИЯ № 3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.  16

Вопрос 3.1. Тройные интегралы на прямоугольных параллелепипедах и их свойства. ………………………………………………………………...16

Вопрос 3.2. Вычисление тройного интеграла через повторные интегралы. ………………………………………………………………….18

Вопрос 3.3. Тройные интегралы для произвольных областей. ……...….19

ЛЕКЦИЯ № 4. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. …………………………...22

Вопрос 4.1. Замена переменных в тройном интеграле. …………………22

Вопрос 4.2. Геометрические и физические приложения тройного интеграла. …………………………………………………………………..25

ЛЕКЦИЯ N 5. КРИВОЛТНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ………………...26

Вопрос 5.1. Криволинейный интеграл 1-го рода. …………………….….26

Вопрос 5.2. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода через определенный интеграл. …………………………………………………..28

Вопрос 5.3. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода. …………...29

ЛЕКЦИЯ № 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ………………….30

Вопрос 6.1. Криволинейный интеграл 2-го рода. …………………….….30

Вопрос 6.2. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода через определенный интеграл. …………………………………………………..32

Вопрос 6.3. Формула Грина и ее приложения. …………………………..34

ЛЕКЦИЯ № 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ………………..36

Вопрос 7.1. Определение гладкой поверхности. Ориентация и нормаль. .36

Вопрос 7.2. Поверхностный интеграл первого рода. ……………………38

Вопрос 7.3. Вычисление поверхностного интеграла 1-го через двойной интеграл. …………………………………………………………………....40

ЛЕКЦИЯ № 8. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ………………..41

Вопрос 8.1. Поверхностные интегралы 2-го рода. ………………………41

Вопрос 8.2. Вычисление поверхностного интеграла через двойной интеграл. ……………………………………………………………………42

Вопрос 8.3. Стационарные скалярные и векторные поля. ……………...44

Вопрос 8.4. Векторные линии и векторные трубки стационарных векторных полей. ………………………………………………………….45

ЛЕКЦИЯ № 9. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ……………………………………….47

Вопрос 9.1. Градиент скалярного поля. ………………………………….47

Вопрос 9.2. Дивергенция векторного поля. ……………………………...48

Вопрос 9.3. Формула Гаусса-Остроградского. …………………………..50

ЛЕКЦИЯ № 10. ТЕОРЯ ПОЛЯ. ………………………..………………53

Вопрос 10.1. Ротор векторного поля. …………………………………….53

Вопрос 10.2. Формула Стокса. ……………………………………………55

Вопрос 10.3. Интегральные теоремы, содержащие градиент. ………….56

Вопрос 10.4. Классификация векторных полей. …………………………57

ЛЕКЦИЯ № 11. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. …………………………………58

Вопрос 11.1. Бесконечные числовые ряды. Сходимость. Сумма числового ряда. …………………………………………………………….58

Вопрос 11.2. Свойства сходящихся рядов. …………………………..…..60

Вопрос 11.3. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. ……...…..62

ЛЕКЦИЯ №12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ………………………………….65

Вопрос 12.1. Интегральный признак сходимости. …………………..…..65

Вопрос 12.2. Абсолютно и неабсолютно сходящиеся ряды. Безусловная и условная сходимость. Теорема Римана. ………………………….…….67

Вопрос 12.3. Признак сходимости Лейбница. …………………………...68

ЛЕКЦИЯ № 13. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. …………………….69

Вопрос 13.1. Функциональные ряды. Поточечная и равномерная сходимость. ………………………………………………………………...69

Вопрос 13.2. Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость суммы равномерно сходящихся рядов. …………………………………..71

ЛЕКЦИЯ №14. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ……………………………..…74

Вопрос 14.1. Степенные ряды. Основные определения и понятия. ……74

Вопрос 14.2. Ряды Тейлора и Маклорена. ……………………………….76

ЛЕКЦИЯ № 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ………………………………..79

Вопрос 15.1. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов. ………………………………………………………….……………79

Вопрос 15.2. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов. …………………………………………………………..80

Вопрос 15.3. Нахождение решений дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. ……………………………………………….81

Вопрос 15.4. Оценка суммы знакопостоянного ряда. …………………...82

ЛЕКЦИЯ № 16. РЯДЫ ФУРЬЕ.

Вопрос 16.1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. ………………………………………………………………………83

Вопрос 16.2. Тригонометрические ряды Фурье. Условия разложимости функции в ряд Фурье. ……………………………………………………..86

ЛЕКЦИЯ №17. РЯДЫ ФУРЬЕ. ………………………………………...88

Вопрос 17.1. Разложение функций в ряд по синусам или по косинусам. ………………………………………………………………….88

Вопрос 17.2. Тригонометрические ряды Фурье в комплексной форме. .91

ЛЕКЦИЯ № 18. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. …………………………………92

Вопрос 18.1. Интеграл Фурье. Косинус и синус - преобразование Фурье. ………………………………………………………………………92

Вопрос 18.2. Интеграл Фурье в комплексной форме. …………………...95

Список литературы ………………………………………………………97