13. Понятие о теореме Ляпунова. Центральная предельная теорема

Теорема Ляпунова — теорема в теории вероятностей, устанавливающая некоторые общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых сумма большого числа независимых слагаемых имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть Х1, Х2, ..., Хn,,…- последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию:

M(Xk)=ak, D(Xk)= .

Sn = X1 + X2+ . . . +Хn,An= ,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы через

Fn(x)=P

Говорят, что к последовательности Х1, Х2, ... применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при п стремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины X1, Х2,... одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, если дисперсии всех величин Xi(i= 1, 2, ...) конечны и отличны от нуля. А.М. Ляпунов доказал, что если для любого δ> 0 при п отношение Ляпунова стремится к нулю (условие Ляпунова), то к последовательности Х1, Х2,… применима центральная предельная теорема.Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое слагаемое суммы (Sn— Ап)/Впоказывало на сумму ничтожное влияние.

14. Многомерные случайные величины. Определение системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Очень часто результат испытания характеризуется не одной СВ, а некоторой системой случайных величин , которую называют также многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором Х = ( ), т.е. n-мерная случайная величина – упорядоченный набор nслучайных величин

Случайные величины , входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Двумерная сл.вел – упорядоченный набор 2-х случайных величин (X,Y),Где X. Y- компоненты(составляющие) 2-мерной сл.вел.

Закон распределения 2-мерной сл.вел – перечень возможных значений этой величины,т.е. упорядоченных пар(х,у) с указанием соответствующих им вероятностей(рис 5)

.

Так как события (i = 1,2,...,n; j = 1,2,...,m), состоящие в том, что СВ Х примет значение , а СВ Y - значение , несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу, то сумма их вероятностей (всех клеток таблицы )равна единице, т.е.:

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Т.к. События (x1,y1), (x1,y2) … (x1, ym) несовместны, то p(x1) по теореме сложения:

p(x1)= р(x1,y1)+р(x1,y2)+ …+р (x1, ym). Т.о. вероятность того, что Х примет значение х1 равна сумме вероятностей столбца «хi». Аналогично, чтобы найти вероятность yj нужно сложить вероятности соответствующей строки.