- •Скалярное произведение векторов. Его основные свойства.
- •. Выражение скалярного произведения в координатах
- •Смешанное произведение векторов
- •7. Преобразование прямоугольных координат при повороте осей.
- •8. Линии на плоскости. Понятие уравнения линии.
- •9. Уравнение линии в полярной системе координат.
- •10. Параметрическое уравнение линии
- •11. Векторное уравнение линии.
- •12. Алгебраические линии.
- •13. Линии первого порядка.Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.Уравнение прямой. Проходящей через данную точку, имеющей заданный угловой коэффициент.
- •15. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
- •16.Общее уравнение прямой.
- •17Уравнение прямой в отрезках.
- •18. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
- •19. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и пе4. Условия параллельности двух прямых:
- •20. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- •21. Линии второго порядка на плоскости.
- •22. Эллипс. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •23. Векторное уравнение эллипса.
- •24. Гипербола .Вывод канонического уравнения гиперболы
- •25. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы.
- •26. Общие уравнения линии второго порядка
Скалярное произведение векторов. Его основные свойства.
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.
Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cosg=пр ba, (см. рис.14), a |b| cosg = пр ab, то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения
Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b
. Выражение скалярного произведения в координатах
Пусть заданы два вектора
Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:
Т.е.
Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Пример 6.2.
Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.
Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: АС = (6;9;-3) и BD = (6;-4;0). Найдем скалярное произведение этих векторов:
АС • BD = 36 - 36 - 0 = 0.
Отсюда следует, что AC^BD. Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения
Угол между векторами
Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (ax; ay; az) и b=( bх; bу; bг):
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:
Проекция вектора на заданное направление
Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле
векторное произведение векторов. свойства.
Векторным произведением векторов a и b называется вектор c , который определяется следующими условиями:
Его модуль равен где - угол между векторами a и b
Вектор c перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами a и b.
Вектор c направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы a и b, кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).
Векторное произведение векторов a и b обозначается символом
(25)
Или
(26)
Основные свойства векторного произведения:
Векторное произведение равно нулю, если векторы a и b коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.
При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):
Векторное произведение не обладает свойством переместительности.
(распределительное свойство)
Выражение векторного произведения через проекции векторов a и b на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой:
(27)
которую можно записать с помощью определителя
(28)
Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам
(29)
и тогда на основании (4)
(30)
Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор - сила, а вектор есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы относительно точки O есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на силу , т. е.