2) Какими свойствами обладают спектральная плотность амплитуды и спектр энергии , если сигнал является действительной функцией времени?

Билет 24

1) Оценка длины импульсной характеристики многолучевого канала связи.

Выше предполагалось, что число задержанных в канале лучей m является известным. Если это не так или же m выбрано неудачно, то при оценивании ИХ могут возникнуть дополнительные ошибки. Например, если взять m больше, чем истинная длина ИХ, то входной вектор X будет проектироваться на подпространство большей размерности. Оценка ИХ будет содержать лишние канальные коэффициенты, которые будут использоваться приемником при детектировании принятых сигналов, что будет вести к увеличению вероятности ошибки передачи информации. Допустим теперь, что длина m выбрана на один бит меньше истинной длины ИХ. Это означает, что последний компонент в H не будет оцениваться. В этом случае детектор приемника не будет учитывать последний из запаздывающих лучей, что также ведет к росту вероятности ошибки. Таким образом, задача оценивания длины ИХ m является важной с практической точки зрения.

Анализируя поведение функции правдоподобия (8.1.30) или квадратичного функционала (8.1.32) в зависимости от числа m задержанных сигналов, нетрудно видеть, что оценка длины ИХ не может быть получена методом максимального правдоподобия. При увеличении m значение минимума (8.1.32) будет уменьшаться, а функция правдоподобия (8.1.30) возрастать. Отсутствие экстремума обусловлено влиянием шума. Это можно понять, если предположить, что принятая последовательность X содержит только шум Z. Реализация шумового процесса Z может быть представлена в виде разложения с использованием произвольного базиса. Если в качестве базиса взять обучающие векторы (8.1.27) и выполнить оценивание ИХ, то шумовая реализация породит ненулевые оценки ИХ при любом сколь угодно большом значении m, хотя в действительности сигнала нет. Поэтому при увеличении m плотность вероятности монотонно возрастает и не имеет максимума.

Чтобы оценить длину m необходимо привлечь дополнительные априорные знания [28]. В частности, допустим, что нам известна статистика собственного шума, который является комплексным гауссовым некоррелированным во времени процессом с нулевым средним и дисперсией . Выше было установлено, что минимальная величина в (8.1.32) соответствует максимуму функции правдоподобия и равна . Уравнение (8.1.44) определяет среднее значение случайной величины .

Найдем дисперсию равную . Из (8.1.43) имеем, что

. (8.2.1)

Для гауссовских процессов момент четвертого порядка вычисляется следующим образом [45]

(8.2.2)

Подставляя (8.2.2) в (8.2.1) и учитывая статистические свойства шума, получим, что

. (8.2.3)

Тогда дисперсия равна

. (8.2.4)

Используя (8.1.44) и (8.2.4), определим статистический критерий для оценки длины ИХ m. Так как уменьшается с ростом m, то можно задать пороговое значение равным

. (8.2.5)

Это означает, что если для некоторого m выполняется условие , то остаток считается обусловленным только шумом.

Для примера рассмотрим канал с ИХ вида: h(0)=1.65; h(1)=0.2; h(2)=1.2; h(3)=0.3; h(4)=h(5)=...=0. На рис. 8.1 изображена функция для 10-ти реализаций шума с дисперсией . Порог _t вычислен по формуле (8.2.5). Заметим, что величина порога зависит от m. Видно, что при m=2 несколько реализаций ниже порога, а при m=3 все реализации ниже порога. Для различных реализаций шума канальный оценщик выберет либо m=2, либо m=3 (истинное значение равно 3). Ошибка в оценивании m обусловлена тем, что последний компонент ИХ (h(3)=0.3) меньше, чем среднеквадратический уровень шума .

Рис. 8.1. Функция для 10 реализаций шума при