1) Угловая дисперсия в многолучевом канале связи, Гауссова модель канала и ее сравнение с круговой моделью и моделью Кларка.

Распространение сигналов в многолучевом канале приводит не только к временной и частотной дисперсии, но и к угловой дисперсии. Физический смысл угловой дисперсии заключается в том, что точечный в пространстве источник сигналов воспринимается («видится») приемной антенной как протяженный источник. Изучение угловой дисперсии сигнала имеет большое значение для выбора расстояний между антеннами в случае применения разнесенного приема (передачи) сигнала. Угловая дисперсия сигнала оказывает также существенное влияние на точность измерения угла прихода сигнала, если решается задача определения местоположения абонента.

В городских условиях мобильная станция обычно находится в окружении достаточно большого числа рассеивателей. При этом угловой размер источника сигнала равен 360. В тоже время антенна базовой станции (БС), как правило, располагается на высоких зданиях и, поэтому сигналы от пользователя принимаются антенной БС в некотором угловом секторе, который может быть существенно меньше, чем 360. В данном подразделе исследуется угловая дисперсия сигнала, принимаемого БС.

На рис. 2.20 показаны три часто рассматриваемые модели рассеивателей, окружающих мобильную станцию.

Рис. 2.20. Модели расположения рассеивателей возле мобильной станции

Система координат (x,y) связана с мобильной станцией, в то время как БС располагается на расстоянии D от мобильной станции. Первая модель рассеивателей предложена в [36] и называется гауссовской моделью многолучевого канала (ГММК). Она предполагает, что плотность рассеивателей является равномерной по угловой координате  и уменьшается по гауссовскому закону с расстоянием от мобильной станции. Вторая модель представляет собой ранее рассмотренную классическую модель Кларка, которая предполагает равномерное распределение рассеивателей на окружности. Третья модель рассеивателей предложена в [46,47] и называется круговой моделью многолучевого канала (КММК). Она предполагает равномерное распределение рассеивателей внутри круга.

Заметим, что все рассматриваемые модели дают одинаковую частотную дисперсию (допплеровский спектр) сигнала, принимаемого БС, благодаря равномерному распределению рассеивателей по угловой координате. Но угловая дисперсия сигнала, как будет показано, является различной. Также мы увидим, что гауссовская модель лучше отражает экспериментальные результаты, полученные в городских условиях.

Сигнал, принимаемый БС, представляет собой сумму сигналов, отраженных от различных рассеивателей, располагающихся вокруг мобильной станции случайным образом. Так как сигналы отдельных рассеивателей статистически независимы, мощность излучения, падающего на антенну в некотором угловом секторе, будет пропорциональна числу рассеивателей в этом секторе. Следовательно, задача определения углового распределения излучения (угловой дисперсии) сводится к задаче определения углового распределения рассеивателей.

Предположим, что: а) сигналы распространяются только в азимутальной плоскости; б) каждый рассеиватель имеет изотропную диаграмму рассеивания и многократные переотражения сигналов не учитываются; в) коэффициент отражения от произвольного рассеивателя имеет единичную амплитуду и случайную фазу; г) прямой луч между мобильной и базовой станциями отсутствует.

Для гауссовской модели плотность вероятности расположения рассеивателей вокруг антенны мобильной станции представим в виде

, (2.3.106)

где (r,φ) – полярная система координат с центром в месте расположения мобильной станции, r – расстояние от мобильной станции до рассеивателя, r_eff – эффективное расстояние, на котором функция p(r,φ) убывает в e раз. Из (2.3.106) следует, что для ГММК плотность вероятности попадания рассеивателя в бесконечно тонкое кольцо радиусом r определяется релеевским распределением и равна

. (2.3.107)

Найдем плотность вероятности углового распределения рассеивателей, видимых из БС. Сначала перейдем в систему координат (x, y) с центром в точке нахождения БС, то есть x=x и y=y+D. Затем введем полярную систему координат (R,), такую, что x=Rsin, y=Rcos, а угол  отсчитывается от линии соединяющей БС и пользователя. Нетрудно показать, что якобиан такого преобразования равен R и

. (2.3.108)

В результате данного преобразования из (2.3.106) получим, что

. (2.3.109)

Одномерная плотность вероятности распределения рассеивателей (угловая плотность мощности) может быть получена путем интегрирования функции в (2.3.109) по радиусу R. Следовательно,

. (2.3.110)

Интеграл в (2.3.110) может быть вычислен аналитически. Учтем, что ([43], № 3.462.1)

, (2.3.111)

где Re(v, )>0, (v) – гамма функция, C_p(z) - функция параболического цилиндра. Для нашего случая v=2, и . Если v=2, то функция C_2(z) может быть выражена через интеграл вероятности (z) ([43], № 9.254.2) в виде

, (2.3.112)

где - интеграл вероятности, приведенный в (1.3.11).

Примем во внимание, что , (2)=1 и (z) – нечетная функция аргумента z. В результате получим, что функция p() равна

, (2.3.113)

где угол находится из условия .

Таким образом, плотность вероятности p() зависит только от cos и является четной функцией аргумента .

Выражение (2.3.113) является справедливым в общем случае. Если рассеиватели расположены вблизи мобильной станции так, что угловое расширение является малым (θ_eff<<), то

, (2.3.114)

то есть функция углового распределения рассеивателей представляет собой гауссовскую функцию плотности вероятности с нулевым средним и с дисперсией . На рис. 2.21 показана плотность вероятности p() для θ_eff=10; 30 и 50 (кривые 1, 2, 3, соответственно).

Рис. 2.21. Плотность вероятности углового распределения рассеивателей

Функция плотности вероятности углового распределения рассеивателей для КММК имеет вид [46,47]

, (2.3.115)

где .

Можно показать, что для модели Кларка с расположением рассеивателей на кольце радиуса r₀ функция плотности вероятности углового распределения рассеивателей равна

. (2.3.116)

Представляет интерес сравнение полученных результатов и экспериментальных данных. В [48] приведены гистограммы распределения рассеивателей и пространственного распределения мощности принимаемого сигнала, полученные при высоте подъема антенны БС над крышами домов на 12 м.

На рис. 2.22 представлены функции плотности вероятности p() для трех рассматриваемых моделей, а также экспериментальная гистограмма распределения рассеивателей, взятая из [48]. Значения параметров (θ_max, θ_eff) для каждой модели были выбраны так, чтобы обеспечить наилучшее совпадение с экспериментальными данными. Для КММК и модели Кларка угол θ_max =10, для ГММК θ_eff =8,8. Видно, что ГММК имеет лучшее совпадение с экспериментальными данными.

Рис. 2.22. Плотности вероятности для трех рассматриваемых моделей и экспериментальная гистограмма распределения рассеивателей [48].

2) Каким образом следует определять асимптотическое поведение спектра энергии сигнала при больших частотах, если а) сигнал имеет скачки первой производной только; б) сигнал имеет и скачки первой производной, и скачки второй производной?

• Если скачков функции нет, а наблюдаются скачки первой производной, равные а, b, с и т.д., то асимптотика спектра по максимумам равна

• Если скачков функции и первой производной нет, а наблюдаются скачки второй производной, равные , ,  и т.д., то асимптотика спектра по максимумам равна

Асиптота только по первой производной

Билет 21