3. Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.

Отношение называется функцией или отображением из множества А в множество В, если и из (x,y₁) є f, (x,y₂) є f следует y₁=y₂. Если вместо выполняется , то f называется частичной функцией. Функция f из А в В обозначается через или . Если (x,y) є f, то пишем y=f(x) или . Функция называется разнозначной инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией если из условия, что выполняется х₁≠х₂, следует y₁≠y₂. Функция называется функцией из А на В или сюръекцией, если . Функция называется взаимно однозначным соответствием между множествами А и В или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно.

Биекция называется подстановкой.

Утверждения:

1. Если , , то

2. Если , то

3. Если f и g - инъекции, то f•g – инъекция.

Доказательство: Предположим противное, т.е. найдутся элементы x₁, x₂, y такие, что х₁≠х₂, (x₁,y) є f•g и (x₂,y) є f•g, т.е. g(f(x₁))=y=g(f(x₂)). В силу разнозначности f имеем f(x₁)≠f(x₂). Отсюда в силу разнозначности g получаем g(f(x₁))≠g(f(x₂)), а это противоречит предположению.

4. Если f,g – сюръекции, то f•g – сюръекция

Доказательство: Нужно доказать, что для любого с существует а такое, что f•g(a)=c. Т.к. g – сюръекция, то существует b, для которого g(b)=c, а т.к. f – сюръекция, то для любого b существует а такое, что f(a)=b. Тогда f•g(a)=g(f(a))=c

5. Если f и g – биекции, то f•g – биекция

6. Если , то

Функция называется последовательностью. Её можно представить в виде f(0)=b₀, f(1)=b₁,…, f(n)=b_n.

4. Множество натуральных чисел. Два подхода к определению множества натуральных чисел. Аксиомы Дедекинда-Пеано. Принцип математической индукции.

Два подхода к определению множества натуральных чисел:

1. Конструктивный.

Позволяет представить натуральные числа в виде объектов, построенных из пустого множества.

Положим по определению . Множества 0, 1, 2,… называются натуральными числами. Объединение этих чисел N={0, 1, 2,…, n,…} называется множеством натуральных чисел.

Замечание: А^В – множество всех функций из В в А. Если В=n={0,1,2…,n-1}, A=2={0,1}, то А^В=2ⁿ.

2. Аксиоматический подход.

Рассмотрим аксиоматику Дедекинда Пеано:

Пусть имеется некоторое множество N, в котором выбран элемент 0 и функция, которая элементу n из N ставит в соответствие элемент n’ из N, называемый непосредственно следующим (элемент n’ играет роль числа n+1).

Множество N называется множеством натуральных чисел, если система <N,0,’> удовлетворяет аксиомам:

- для любого m≠0 найдется n из N такой, что n’=m.

- для любых m,n из N, если m’=n’, то m=n.

- n’≠0 для любого n из N.

- на множестве N выполняется аксиома математической индукции.

Принцип (аксиома) математической индукции:

Для любого свойства Р (унарного отношения на множестве N), если Р выполняется на элементе 0 (т.е. 0 обладает свойством Р), и для любого n из N из выполнимости Р на элементе n следует выполнимость Р на элементе n’, то свойство Р выполняется на любом элементе n из N.

или или

Иногда удается установить только выполнение Р(к) для некоторого к>0 и свойство Р(n)=>Р(n+1) для всех n≥к:

Принцип полной индукции:

Если для всякого n из N из предположения, что P(k) верно при любом натуральном k<n, следует, что P(k) верно также при k=n, то P(n) верно при любом натуральном n: