Задача 1

В задаче 1 рассчитывается сопротивление электрической цепи. Расчет сложной электрической цепи упрощается, если в ее схеме замещения заменить группу резистивных элементов другой эквивалентной группой, в которой резистивные элементы соединены иначе. Взаимная эквивалентность заключается в том, что после замены режим работы остальной части цепи не изменится.

При решении задачи необходимо помнить, что при последовательном соединении общее сопротивление определяется как сумма , а при параллельном – из выражения .

Задача 2

Задача 2 посвящена расчету распределения токов в сложных линейных электрических цепях с несколькими источниками постоянного тока. Классическим методом расчета таких цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета исходят из этих законов электротехники.

Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис 1.1), которая содержит шесть ветвей. Если будут указаны величины всех ЭДС и сопротивлений, а по условию задачи требуется определить токи в ветвях, то мы будем иметь задачу с шестью неизвестными. Такие задачи решаются при помощи законов Кирхгофа. В этом случае число составленных уравнений должно быть равно числу неизвестных токов n.

Порядок расчета:

1. Если цепь содержит последовательные и параллельные соединения,

ее упрощают, заменяя эти соединения эквивалентными.

2. Произвольно указывают направления токов во всех ветвях. Если в результате расчета ток получается со знаком «минус» , то это значит, что направление тока было выбрано неверно.

3. Составляют (m-1 ) уравнений по первому закону Кирхгофа (m-число узлов).

4. Обход контура можно производить как по часовой стрелке, так и против нее. За положительные ЭДС и токи принимаются такие, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Направление ЭДС внутри источника всегда принимают от минуса к плюсу (см. рис 1.1).

5. Полученную систему уравнений решают относительно неизвестных токов. Составим расчетные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис 1. Выбрав произвольно направление токов в ветвях цепи, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a,b и c.

(1)

Приняв направление обхода контура, как указано на рис 1.1, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров:

для контура adkba E₁=R₁I₁ + R₃I₃ – R₅I₅ (2)

для контура bacikb E₁ – E₂=R₁I₁ – R₂I₂ – R₅I₅ – R₆I₆ (3)

для контура bmncab 0=R₁I₁ – R₂I₂ + R₄ I₄ (4)

Решая совместно уравнения (1– 4), определяем токи в ветвях электрической цепи.

Легко заметить, что решение полученной системы из шести уравнений является весьма трудоемкой операцией. Поэтому при расчете сложных электрических цепей целесообразно применить метод контурных токов, который позволяет уменьшить число уравнений, составляемых по двум законам Кирхгофа, на число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом:

1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаем направление этих токов (рис.1.2)

2. Составляем для каждого независимого контура уравнение по второму закону Кирхгофа для контурных токов.

I контур E₁=I_k1(R₁ + R₃ + R₅) + I_k2R₃ + I_k3R₁ (5)

II контур

E₂=I_k2(R₂ + R₃ + R₆) + I_k1R₃ – I_k3R₂ (6)

III контур

0=I_k3(R₁ + R₂ + R₄) + I_k1R₁ – I_k2R₂ (7)

3. Решая совместно уравнения (5–7), определяем контурные токи.

4. Действительные токи в наружных ветвях схемы равны контурным с учетом знака, токи в смежных ветвях схемы определяются, как алгебраическая сумма контурных токов, причем за исходное берется направление искомого действительного тока: I₁= I_k1 + I_k3; I₂ =I_k2 – I_k3; I₃ = I_k2 + I _k1 ; I₄ = I_k3; I₅ = –I_k1 ; I₆ = I_k2.

Пример. Рассчитать сложную цепь постоянного тока по схеме, изображенной на

рис 1.2 .

Дано: E₁=100 В; E₂= 120 B; R₁= 5 Ом; R₂= 10 Ом; R₃= 2 Ом; R₄= 10 Ом;

R₅ =R₆= 0.5 Ом.

Определить : действительные токи в ветвях.

Решаем систему уравнений (5,6,7). Введем обозначения

R₁₁ = R₁ + R₃ + R₅ = 5+2+0,5=7,5

R₂₂ = R₂ + R₃ + R₆ = 10+2+0,5=12,5

R₃₃ = R₁ + R₂ + R₄ = 5+10+10=25

R₁₂ = R₂₁ = R₃ =2

R₁₃ = R₃₁ = R₁ =5

R₂₃ = R₃₂ = –R₂ –10

E₁ = E₁₁ = 100; E₂₂ = E₂ = 120;

I_k1 = I₁₁ ; I_k2 = I₂₂ ; I_k3 = I₃₃ .

Перепишем уравнения (5,6,7) следующим образом

Запишем в численном виде

Рассчитаем главный определитель

7,5 2 5

Δ = 2 12,5 -10 = 2343,75 – 100 – 100 – 312,5 – 750 – 100 = 981,25

5 -10 25

Частный определитель

100 2 5

Δ₁ = 120 12,5 -10 = 31250 – 6000 – 6000 – 10000 = 9250

0 -10 25

Первый контурный ток находится

I₁₁= I_k1 =

Аналогичным образом находим другие контурные токи

7,5 100 5

Δ₂ = 2 120 -10 = 22500 – 5000 – 3000 – 5000 = 9500

5 0 25

I₂₂ =I_k2 =

7,5 2 100

Δ₃ = 2 12,5 120 = 1200 – 6250 + 9000 = 1950

5 -10 0

I₃₃ =I_k3 =

Находим действительные токи

I₁ = 9,43+1,987=11,42 A

I₂= 9,68– 1,987=7,7 A

I₃ = 9,68+9,43=19,11 A

I₄ = 1,987 A ≈ 2 A

I₅ = – 9,43 A

I₆ = 9,68 A

Составляем баланс мощностей. Уравнение баланса мощностей отражает равенство, мощностей отдаваемых источником и потребляемых приемником

–E₁I₅ + E₂I₆ = I₁² R₁ + I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I₆² R₆

Мощность, отдаваемая источником энергии:

–100(–9,43)+120∙9,68=943 + 1161,6 = 2104,6 Вт

Мощность, потребляемая приемниками:

11,42²∙5+7,7²∙10+19,11²∙2+2²∙10+(–9,43)²∙0,5+9,68²∙0,5=652+593+730,4+40+44,5+

+46,85 = 2106,7 Вт

2104,6≈2106,7

P_ист ≈ P_пр