Федеральное государственное бюджетное предприятие
высшего профессионального образования
Ижевский государственный технический университет
Факультет «Математики и естественных наук»
Кафедра «Физика и оптотехника»
Отчет по лабораторной работе № 7
«Изучение собственных колебаний пружинного маятника»
Выполнил
студент гр.№ Б02-722-1 С.В. Парамонов
Проверил
ст. преподаватель каф. «МиЕН» А.С. Перминов
Ижевск
2012
Отчет по лабораторной работе №5.
«Изучение собственных колебаний пружинного маятника»
Цель работы: исследовать зависимость параметров колебательного движения от свойств пружины.
Краткое изложение теоретических предпосылок для проведения работы:
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса.
Виды колебаний
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
где ω0 — круговая (циклическая) частота, А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, φ — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω0t+φ) - фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А.
Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.
Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:
где
— масса груза,
— жёсткость пружины.
Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.
где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.
Для упрощения вводятся следующие обозначения:
Величину
называют собственной частотой системы,
— коэффициентом затухания.
Тогда дифференциальное уравнение принимает вид
Сделав
замену
, получают характеристическое уравнение
Корни которого вычисляются по следующей формуле
Приборы и принадлежности
Приборы:
Линейка диапазон измерений от 0 до 500 миллиметров;
цена деления 1,0 мм;
Секундомер диапазон измерений от 0 до 60 секунд;
Цена деления 0,1с;
Весы диапазон измерений от 0 до 200грамм;
Цена деления 2 грамма;
Принадлежности: набор пружин различной жесткости: длинная(1), короткая(2), штатив (3), секундомер, набор грузов различной массы.
Расчетные формулы и соотношения
Прямые измерения.
Среднее
значение
измеряемой величины X
производится по формуле:
(1)
где
– измеренное
значение величины (непосредственно
измеренное тем или иным измерительным
прибором);
i – номер измерения;
n – число непосредственных измерений в проводимом эксперименте.
Случайная ошибка
измеряемой величины
(при прямых измерениях) определяется
по формуле:
(2)
где 
– коэффициент Стьюдента для числа
измерений равному n
и уровне доверительной вероятности
P=95%
(берется из таблиц для соответствующих
n
и P).
Приборная ошибка
при прямых измерениях
определяется
по формуле:
(3)
где
– коэффициент Стьюдента для бесконечного
числа измерений и уровне доверительной
вероятности P=95%
(берется из таблиц для соответствующих
n
и P),
f – цена деления измерительного прибора (1 мм)
Полная ошибка
при измерениях
(прямых) определяется по формуле:
(4)
Если какая-либо из ошибок превосходит другую в 10 и более раз, то при определении полной ошибки по формуле (4) меньшей ошибкой можно пренебречь.
Результат прямого измерения представляется в виде:
Величина
равна
при доверительной
вероятности 95%
Косвенные измерения
Определение коэффициента жесткости
Погрешность
Измерение логарифмического декремента затухания
Измерение погрешности
Измерение периода 20-ти полных колебаний
Погрешность
Определение коэффициента жесткости
где
Выполнение работы.
Этап 1:Определение жесткости пружины статическим методом.
1)Для первой пружины:
Измерение
массы груза
,
.
Измерения представлены в таблице-1.
Таблица – 1
Номер измерения |
|
|
|
1 |
200 |
0 |
0 |
2 |
200 |
0 |
0 |
3 |
200 |
0 |
0 |
4 |
200 |
0 |
0 |
5 |
200 |
0 |
0 |
|
|
||
(грамм)
Случайная ошибка
измерения массы
определялась по формуле (2):
(грамм)
где =2,8
Приборная ошибка
при измерениях
определяется
по формуле (3):
(грамм)
где =2,0
f = 2,0 грамм
Полная ошибка при
измерении
определялась по формуле (4):
(грамм)
Т
аким
образом, полученный результат
200+
1,4 (грамм)
Измерения удлинения пружины при грузе массой .Измерения представлены в таблице 2.
Таблица-2.
№ |
|
|
|
|
1 |
23 |
0 |
0 |
|
2 |
22 |
1 |
1 |
|
3 |
23 |
0 |
0 |
|
4 |
23 |
0 |
0 |
|
5 |
24 |
-1 |
1 |
|
|
|
|||
(мм)
Случайная ошибка
измерения удлинения пружины
определяется по формуле (2):
(мм)
где =2,8
Приборная ошибка
при измерениях
определяется
по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1 (мм)
Полная ошибка при
измерении
определялась по формуле (4):
≈1
(мм)
Таким образом, полученный результат:
23+
1 (мм)
Здесь нужно пересчитать к1 к2 и к3 для первой и второй пружины, постройть график и посчитать тангенс
Определение
коэффициента жесткости
при грузе
.
Погрешность
Измерение массы
груза
.
Измерения представлены в таблице-3.
Таблица – 3
Номер измерения |
|
|
|
1 |
400 |
0 |
0 |
2 |
400 |
0 |
0 |
3 |
400 |
0 |
0 |
4 |
400 |
0 |
0 |
5 |
400 |
0 |
0 |
|
|
||
(грамм)
Случайная ошибка
измерения массы
определялась по формуле (2):
(грамм)
Приборная ошибка
при измерениях
определяется
по формуле (3):
(грамм)
где =2,0
f = 2,0 грамм
Полная ошибка при
измерении
определялась по формуле (4):
(грамм)
Т
аким
образом, полученный результат:
400+
1,4 (грамм)
Измерения удлинения пружины при грузе массой .Измерения представлены в таблице 4.
Таблица-4.
№ |
|
|
|
|
1 |
48 |
0 |
0 |
|
2 |
48 |
0 |
0 |
|
3 |
47 |
1 |
1 |
|
4 |
49 |
-1 |
1 |
|
5 |
48 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
(мм)
Случайная ошибка
измерения удлинения пружины
определяется по формуле (2):
(мм)
где =2,8
Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1 (мм)
Полная ошибка при
измерении
определялась по формуле (4):
≈1
(мм)
Т
аким
образом, полученный результат:
48+
1 (мм)
Определение
коэффициента жесткости
при грузе
.
Погрешность
Измерение массы груза . Измерения представлены в таблице-5.
Таблица – 5
Номер измерения |
|
|
|
1 |
600 |
0 |
0 |
2 |
600 |
0 |
0 |
3 |
600 |
0 |
0 |
4 |
600 |
0 |
0 |
5 |
600 |
0 |
0 |
|
|
||
(грамм)
Случайная ошибка
измерения массы
определялась по формуле (2):
(грамм)
Приборная ошибка
при измерениях
определяется
по формуле (3):
(грамм)
где =2,0
f = 2,0 грамм
Полная ошибка при
измерении
определялась по формуле (4):
(грамм)
Таким образом, полученный результат:
600+
1,4 (грамм)
Измерения удлинения пружины при грузе массой .Измерения представлены в таблице 6.
Таблица-6.
№ |
|
|
|
|
1 |
78 |
0 |
0 |
|
2 |
78 |
0 |
0 |
|
3 |
77 |
1 |
1 |
|
4 |
79 |
-1 |
1 |
|
5 |
78 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
(мм)
Случайная ошибка
измерения удлинения пружины
определяется по формуле (2):
(мм)
где =2,8
Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1 (мм)
Полная ошибка при
измерении
определялась по формуле (4):
≈1
(мм)
Т аким образом, полученный результат:
78+
1 (мм)
Определение коэффициента жесткости k при грузе .
Погрешность
2) Для второй пружины
Измерения удлинения пружины при грузе массой .Измерения представлены в таблице 7.
Таблица-7
№ |
|
|
|
|
1 |
15 |
0 |
0 |
|
2 |
14 |
1 |
1 |
|
3 |
15 |
0 |
0 |
|
4 |
15 |
0 |
0 |
|
5 |
16 |
-1 |
1 |
|
|
|
|||
(мм)
Случайная ошибка
измерения удлинения пружины
определяется по формуле (2):
(мм)
где =2,8
Приборная ошибка
при измерениях
определяется
по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1 (мм)
Полная ошибка при измерении определялась по формуле (4):
≈1
(мм)
Таким образом, полученный результат:
15+
1 (мм)
Определение коэффициента жесткости k при грузе .
Погрешность
Измерения удлинения пружины при грузе массой .Измерения представлены в таблице 8.
Таблица-8
№ |
|
|
|
|
1 |
35 |
0 |
0 |
|
2 |
35 |
0 |
0 |
|
3 |
34 |
1 |
1 |
|
4 |
36 |
-1 |
1 |
|
5 |
35 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
(мм)
Случайная ошибка
измерения удлинения пружины
определяется по формуле (2):
(мм)
где =2,8
Приборная ошибка при измерениях определяется по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1 (мм)
Полная ошибка при измерении определялась по формуле (4):
≈1
(мм)
Т аким образом, полученный результат:
35+
1 (мм)
Определение коэффициента жесткости k при грузе .
Погрешность
Измерения удлинения пружины при грузе массой .Измерения представлены в таблице 9.
Таблица-9.
№ |
|
|
|
|
1 |
67 |
0 |
0 |
|
2 |
67 |
0 |
0 |
|
3 |
66 |
1 |
1 |
|
4 |
68 |
-1 |
1 |
|
5 |
67 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
(мм)
Случайная ошибка
измерения удлинения пружины
определяется по формуле (2):
(мм)
где =2,8
Приборная ошибка
при измерениях
определяется
по формуле (3):
(мм)
где =2,0
f = 1 (мм)
Полная ошибка при измерении определялась по формуле (4):
≈1
(мм)
Т аким образом, полученный результат:
67+
1 (мм)
Определение коэффициента жесткости k при грузе .
Погрешность
Этап 2:
1)Определение логарифмического декремента затухания.
m≈500 грамм
Измерение числа
колебаний
Таблица-10.
№ |
|
1 |
24 |
2 |
23 |
3 |
24 |
4 |
25 |
5 |
24 |
Определение логарифмического декремента затухания.
Определение погрешности:
Таблица-11
№ |
|
|
|
|
1 |
0.011 |
0 |
0 |
|
2 |
0.013 |
-0,002 |
0,000004 |
|
3 |
0.011 |
0 |
0 |
|
4 |
0.011 |
0 |
0 |
|
5 |
0.011 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
Погрешность
λ=0,011±0,001