1.5. Элементарные функции

Понятие элементарной функции

Определение. Функции:

1. линейная ( – постоянная),

2. степеная

3. показательная ,

4. логарифмическая ,

5. тригонометрические ,

6. обратные тригонометрические ,

называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, умножений, вычитание, деление) и конечного числа композиций над основными элементарными функциями, называется элементарной функцией.

В множестве элементарных функций обычно выделяют следующие важные классы .

1. Многочлены (полиномы) – функции вида

.

Здесь – постоянные (в общем случае, комплексные) числа, называемые коэффициентами многочлена, – натуральное число. Если , то называется степенью многочлена.

Многочлены действительного переменного определены на всей числовой прямой.

2. Алгебраические рациональные функции – функции , представимые в виде

,

где – многочлены, многочлен не равен тождественно нулю. Рациональные функции определены всюду, кроме тех точек, в которых многочлен, стоящий в знаменателе, равен нулю.

3. Алгебраические иррациональные функции – функции, не являющиеся рациональными и представимые в виде композиции конечного числа рациональных функций, степенных функций с рациональными показателями и четырех арифметических действий.

Функция

является иррациональной, поскольку представима в виде композиции степенной функции

с показателем ½ и многочлена

.

4. Трансцендентные функции – элементарные функции, не являющиеся алгебраическими.

К трансцендентным функциям относят, например, функции

.

Многочлены. Разложение многочленов на множители

1. Рассмотрим многочлен

-ой степени. Здесь – комплексное переменное, т.е. переменое, которому придаются значения из множества комлексных чисел , коэффициенты – комплексные числа.

Основная теорема алгебры многочленов утверждает, что многочлен имеет ровно корней с учетом их кратности:

,

– комплексные корни многочлена кратности соответственно, .

2. Если многочлен рассматривается над множеством действительных чисел:

,

– действительное переменное, - действительные коэффициенты, и комплексное число является корнем, то число , сопряженное этому числу, также будет являться корнем многочлена.

В этом случае разложение многочлена на множители над множеством действительных чисел принимает вид:

.

Здесь

– действительные корни многочлена кратности соответственно, многочлены вторых степеней имеют комплексно сопряженные корни кратности соответственно, сумма кратностей корней .

Многочлен раскладывается на множители:

.

Разложение свидетельствует о том, что многочлен имеет пару простых комплексно сопряженных корней и действительный корень кратности 2.

Многочлен раскладывается на множители:

.

Он имеет действительные корни , причем оба корня кратности 2.

Представление рациональных функций

Рассмотрим функции вида

,

где – многочлены степени и соответственно.

Если степень числителя строго меньше степени знаменателя, т.е. ,

то функция называется правильной рациональной дробью, в противном случае, когда степень числителя не меньше степени знаменателя, т.е. , функция называется неправильной рациональной дробью.

Функция есть пример правильной рациональной дроби.

Функция дает пример неправильной рациональной дроби.

Неправильная дробь раскладывается делением числителя на знаменатель в сумму:

.

Здесь – многочлен (n–m)-ой степени, называемый целой часть неправильной дроби , второе слагаемое есть отношение многочленов k-ой и m-ой степеней, где k<m, и называется правильной частью дроби .

Введем в рассмотрение так называемые элементарные дроби. К таковым относят дроби вида

1. , где – действительные числа, – натуральное число;

2. , где - действительные числа, - натуральное число; многочлен 2-ой степени, стоящий в знаменателе, не имеет действительных корней.

Дроби вида 1 будем называть элементарными дробями первого типа, дроби

вида 2 – элементарными дробями иторого типа.

Теорема. Правильная рациональная дробь

с действительными коэффициентами раскладывается в сумму элементарных дробей. При этом, если

,

где

1. - попарно различные действительные корни многочлена кратности соответственно,

2. многочлены второй степени не имеют действительных корней, т.е. для любого

,

- пара комплексно сопряженных корней многочлена ,

3. ,

то справедливо разложение

.

Здесь - некоторые однозначно определяемые константы.

Теорема утверждает, что разложение правильной рациональной дроби определяется корнями знаменателя, причем

• действительному корню кратности , отвечает серия из элементарных дробей первого типа

• паре комплексно сопряженных корней , кратности , , отвечает серия из элементарных дробей второго типа

.

Умение раскладывать правильные дроби на сумму элементарных дробей востребуется, в частности, при интегрировании функций.