Обратная функция

Пусть : X Y и для любого y из Y_f найдется единственный x из X, такой, что = . Тогда существует обратная функция

^–1: Y_f X.

X

Y

x

y

Пример. Рассмотрим функцию на полупрямой X={x: x 0}. Множество значений Y_f = { : 0}, т.е. здесьY=X. Выберем произвольно . Ему отвечает единственный = , такой, что = . Действительно,

= ( ) = ( )² = .

Таким образом, обратная функция здесь

.

Сложная функция

Пусть и . Тогда сложная функция , определенная на множестве , ставящая в соответствие каждому точку называется композицией (суперпозицией, сложной функцией) функций и , и обозначается . Таким образом,

X

Y

Z

x

y

z

1.3. Действительные числа

Множество действительных чисел будем обозначать . Любое его подмножество называется числовым множеством. На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения:

• каждой паре действительных чисел и ставится в соответствие действительное число, называемое суммой и обозначаемое ,

• каждой паре действительных чисел и ставится в соответствие действительное число, называемое произведением и обозначаемое . Символ в дальнейшем будет, как правило, опускаться.

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

А. Операция сложения.

А1.

А2.

А3. Существует такое действительное число, называемое нулем и обозначаемое , что .

А4. Для любого действительного числа найдется такое действительное число , что . Число называют противоположным числом к числу и обозначают . Число называют разностью чисел и . При этом пишут . Тем самым определена операция вычитания.

B. Операция умножения.

B1.

B2.

B3. Существует действительное число, называемое единицей и обозначаемое 1, что .

B4. Для любого действительного числа существует действительное число , что . Число называется обратным числом к числу и обозначается . Число называют отношением (частным) чисел и . Тем самым определена операция деления.

С. Связь операций сложения и умножения.

D. Упорядоченность.

На множестве действительных чисел определено отношение порядка. Для любых двух действительных чисел имеет место одно из двух соотношений:

либо (“ меньше ”), или, что то же самое, (“ больше ”),

либо , или, что то же самое, .

При этом выполняются следующие условия:

D1. Если и , то .

D2. Если , то .

D3. Если и , то .

Соотношения порядка называют также сравнением действительных чисел по величине, или неравенствами. Запись означает, что либо , либо .

Из свойств D2 - D3 следует важное свойство множества действительных чисел, называемое плотностью действительных чисел: для любых двух различных действительных чисел и , ,найдется такое третье число , что .

E. Непрерывность множества действительных чисел.

Для любых числовых множеств и таких, что любая пара чисел и стеснена неравенством , существует такое число , что .

Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел

Важные подмножества действительных чисел

1. Числа 1,2,3,… называются натуральными числами. Множество натуральных чисел будем обозначать .

2. Множество называется множеством целых чисел. Очевидно,

3. Множество называется множеством рациональных чисел. Очевидно, .

4. Множество – дополнение множества рациональных чисел до множества действительных чисел, называется множеством иррациональных чисел.

5. Пусть и – два действительных числа, . Выделяют следующие типы числовых множеств, называемые числовыми промежутками:

– отрезок,

– интервал,

– полуинтервалы.

Определение. Числовое множество называют ограниченным сверху, если существует такое число , что для всех имеет место неравенство . Число называют в этом случае числом, ограничивающим сверху множество .

Пример. Промежуток является примером ограниченного сверху множества. В качестве числа , ограничивающего сверху это множество, может быть выбрано любое неотрицательное число.

Определение. Числовое множество называют ограниченным снизу, если существует такое число , что для всех имеет место неравенство . Число называют в этом случае числом, ограничивающим снизу множество .

Пример. Промежуток является примером ограниченного снизу множества. В качестве числа , ограничивающего снизу это множество, может быть выбрано любое неположительное число.

Определение. Числовое множество называют ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Пример 1. Интервал является ограниченным множеством, поскольку он ограничен сверху и снизу. Действительно, в качестве числа , ограничивающего снизу это множество может быть выбрано, например, число , а в качестве числа, ограничивающего множество сверху, выступает, например, число .

Пример 2. Промежуток является ограниченным снизу и неограниченным сверху числовым множеством. Промежуток является примером ограниченного сверху, но неограниченного снизу числового множества.

Определение 1. Если числовое множество ограничено сверху, то наименьшее из чисел, ограничивающих сверху множество , называют его верхней гранью и обозначают

, или

(от латинского слова supremum – наибольший).

Определение 2. Если числовое множество ограничено снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающих снизу множество, называют его нижней гранью и обозначают

, или

(от латинского слова infinum – наименьший).

Приведенные выше содержательные определения верхней и нижней граней числовых множеств могут быть переформулированы и даны в строгой математической форме.

Определение 1*. Число называется верхней гранью числового множества , если

1. для любого выполняется неравенство ;

2. для любого числа существует число , что .

Определение 2*. Число называется нижней гранью числового множества , если

1. для любого выполняется неравенство ;

2. для любого числа существует число , что .

Пример 1. Рассмотрим множество . Оно является ограниченным. Не трудно убедиться, что среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, наименьшим является число 2, а из всех чисел, ограничивающих множество снизу, наибольшим является число –1. Таким образом,

.

Заметим, что если точная грань множества достигается на этом множестве, т.е принадлежит рассматриваемому множеству, то вместо и пишут и соответственно.

Пример 2. Рассмотрим полуинтервал [0,4). Не трудно видеть, что , причем здесь , , т.е. нижняя грань принадлежит множеству, а верхняя грань ему не принадлежит. В этом случае мы вправе написать .