1.4. Комплексные числа
Понятие комплексного числа
Рассмотрим выражения вида
,
где
и
– действительные числа,
– особое число, называемое мнимой
единицей. По определению
.
Указанные элементы будем называть комлексными числами. У комплексного числа выделяют
– действительную часть, пишут
,– мнимую часть, пишут
.
Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части.
Множество
комплексных чисел будем обозначать в
дальнейшем
.
Арифметические операции
Арифметические операции над комплексными числами определяются через операции над действительными числами.
Пусть
,
.
Сложение.
Умножение.
Вычитание.
Вычитание определяется как действие, обратное к сложению:
,
если
.
Деление.
Деление определяется как действие, обратное к умножению:
,
если
.
Векторная интерпретация комплексных чисел.
Модуль и аргумент комлексного числа
Каждому
комплексному числу
соответствует единственная упорядоченная
пара действительных чисел
,
и, наоборот, любой упорядоченной паре
действительных чисел
отвечает вполне определенное комплексное
число
.
Упорядоченные пары действительных
чисел
находятся во взаимно одназначном
соответствии с точками (или векторами)
на плоскости, на которой задана система
координат. В результате комплексное
число
можно рассматривать как вектор на
плоскости с координатами
.
y
x
0
z
которой интерпретируются как комплексные
числа, называется комплексной плоскостью,
ее ось
– действительной осью, а ось
– мнимой осью.
Длина
вектора
называется модулем
комплексного числа.
Если
-угол
между ненулевым вектором
и действительной осью, то всякий угол
вида
,
где
–
целое число, и угол только такого вида,
также будет углом, образованным вектором
с действительной осью. Множество всех
таких углов называется аргументом
комплексного числа
:
.
Действительная
и мнимая части комплексного числа
выражаются через его модуль
и значение
аргумента:
.
Тогда
.
Правая часть равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Операции с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел удобна при перемножении чисел, возведении их в натуральную степень, при извлечении корня.
Если
,
,
то произведение комплексных чисел
Таким образом, при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются:
,
.
Следует обратить внимание на то, что второе равенство является равенством двух множеств.
Применив последовательно формулу умножения двух чисел к произведению чисел, получим
.
Эта формула называется формулой Муавра.
Извлечение корня из комплексного числа
Если
–
натуральное число,
– комплексное число, то корнем n-ой
степени из комплексного числа
называется всякое такое число
,
что
.
Если
,
то числа
и
являются значениями корня 2-ой степени
из –1.
Следовательно,
корень
из комплексного числа
определяется неоднозначно.
Корень имеет ровно значений, вычисляемых по формуле
.
Сопряженные комплексные числа
Для
каждого комплексного числа
число
называется ему сопряженным числом.
Геометрически вектор
симметричен вектору
относительно действительной оси.
Перечислим основные свойства сопряженных чисел.
