48. Вычисление площади поверхности.

S;

Где есть некоторая поверхность

49. Поверхностный интеграл 1 рода.

Разобьем поверхность на частичных поверхностей , , , без общих внутренних точек с площадями , , , и диаметрами , , , . В каждой частичной поверхности , , возьмем произвольную точку

называется интегральной суммой для функции по поверхности .

Поверхностным интегралом 1-го рода от функции называется предел (если он существует) интегральной суммы (6.1) при :

,

функция называется интегрируемой по поверхности , поверхность – поверхностью интегрирования, – элемент поверхности.

Основными свойствами поверхностного интеграла 1 го рода являются:

– (линейность) если и — произвольные постоянные числа, функции и интегрируемы на поверхности , то функция также интегрируема на поверхности и справедливо равенство

;

– (аддитивность) если поверхность состоит из двух частей и , , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, и функция интегрируема на и , то функция также интегрируема на поверхности и справедлива формула:

;

– (монотонность) если на поверхности выполнено неравенство , то

;

– (оценка интеграла) ;

– (теорема о среднем) если непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует такая точка , что

,

где – площадь поверхности .

50. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода.

Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла по области , являющейся проекцией поверхности на плоскость .

Параметрическое задание поверхности.

Поверхность задана параметрическими уравнениями

, , , .

Тогда поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле

,

Явное задание поверхности .

Пусть поверхность, заданная уравнением . Здесь функция непрерывна вместе со своими частными производными и в замкнутой области . И пусть функция непрерывна на поверхности , и, следовательно, интегрируема на ней. Учитывая, что элемент поверхности есть , имеем

.

Неявное задание поверхности. Поверхность задана неявно уравнением , где , . Функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании неявной функции. Поэтому уравнение определяет функцию , для которой ; .

,

где – проекция поверхности на плоскость . Для вычисления интеграла выражается из уравнения поверхности.

Приложения поверхностного интеграла: (площадь уже есть в вопросе 48)

– массы материальной поверхности с непрерывно распределенным веществом известной плотности

;

– статических моментов , , материальной поверхности относительно координатных плоскостей , , соответственно:

;

;

;

– координат центра тяжести материальной поверхности

, , ;

– моментов инерции , , , материальной поверхности относительно координатных осей , , и начала координат соответственно:

; ; ; . 51. Поверхностный интеграл 2 рода. Определение поверхностного интеграла 2 го рода. Пусть двусторонняя поверхность с выбранным направлением единичного вектора нормали задана явно непрерывно-дифференцируемой функцией в области . И пусть в точках поверхности определена непрерывная функция . Выбранную сторону поверхности разобьем на частичных поверхностей , , , . Обозначим , , , проекции этих частей на плоскость . При этом площадь проекции , , берется со знаком « », если выбрана внешняя сторона поверхности (нормаль к выбранной стороне составляет с осью острый угол), со знаком «–», если выбрана внутренняя сторона поверхности. Сумма называется интегральной суммой для функции по выбранной стороне поверхности. Обозначим через наибольший из диаметров разбиения: . Поверхностным интегралом 2-го рода от функции по выбранной стороне поверхности называется предел (если он существует) интегральной суммы (6.11) при : , функция называется интегрируемой по поверхности по переменным и . Аналогично определяются поверхностные интегралы 2-го рода по выбранной стороне поверхности по переменным и , и от непрерывных функций и , определенных в точках двухсторонней поверхности , соответственно: ; . Общим поверхностным интегралом 2-го рода называется интеграл вида . Если – замкнутая двусторонняя поверхность, то поверхностный интеграл 2-го рода по внешней стороне ее обозначается , по внутренней – . Свойства поверхностного интеграла 2-го рода. Поверхностный интеграл 2-го рода обладает следующими свойствами: – для общего поверхностного интеграла 2-го рода справедливо равенство: ; – (линейность) если и — произвольные постоянные числа, функции и интегрируемы по выбранной стороне поверхности , то функция также интегрируема по выбранной стороне поверхности и справедливо равенство: ; – (аддитивность) если поверхность , из двух частей и , , а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, и функция интегрируема по выбранным сторонам и , то функция также интегрируема по выбранной стороне поверхности и справедлива формула ; – (оценка интеграла) если функции , , интегрируемы по выбранной стороне двусторонней поверхности и во всех точках поверхности, то , где – площадь поверхности; – (ориентированность) если противоположная сторона к стороне поверхности , то . Вычисление поверхностного интеграла 2 го рода. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению двойного интеграла, учитывая проекции поверхности на соответствующие плоскости: а) , где – проекция на плоскость ; знак “+” берется в случае, если и “–”, если ( угол между вектором и положительным направлением оси ); б) , где – проекция на плоскость ; знак “+” берется в случае, если и “–”, если ( угол между вектором и положительным направлением оси ); в) , где – проекция на плоскость ; знак “+” берется в случае, если и “–”, если ( угол между вектором и положительным направлением оси ). Тогда Общий поверхностный интеграл 2-го рода и поверхностный интеграл 1-го рода связаны соотношением: , где , , координаты единичного вектора нормали к поверхности . Координаты вектора в зависимости от задания поверхности Вид задания поверхности Угол между вектором нормали и соответствующей координатной осью Координаты вектора нормали , , , , ,

52. Выражение объёма тела поверхностным интегралом:

Для вычисления объема тела, ограниченного замкнутой поверхностью , используется формула:

.

53. Формула Стокса.

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностными интегралами и криволинейными интегралами.

Теорема (Внимание Теорема должна быть обязательно. Как пояснение к формуле)

Пусть

1) – элементарная относительно оси поверхность, заданная уравнением , где функции , , – непрерывны в замкнутой области , проекции на ;

2) – контур, ограничивающий область , – его проекция на плоскость , являющаяся контуром, ограничивающим область ;

3) функции , , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на выбранной стороне поверхности .

Тогда имеет место формула Стокса

.

Следствие.

, , , то

1) ;

2) подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции , для которой:

.

Формула Стокса справедлива для любой области, которую можно разбить на конечное число элементарных областей указанного вида.

Учитывая, что

, , ,

формулу Стокса можно записать в виде:

54. Формула Гаусса-Остроградского.

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностными интегралами 2-го рода по замкнутой поверхности и тройными интегралами по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Теорема

Пусть

1) – элементарная относительно оси замкнутая область, ограниченная поверхностью ;

2) функции , , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области .

Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

Формула Остроградского-Гаусса справедлива для любой области , которую можно разбить на конечное число элементарных областей. Также формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов 2-го рода по замкнутым поверхностям.

55. Скалярное и векторное поля.

Скалярные поля и их основные характеристики

Стационарным скалярным полем называется пространство (или его часть – область ), в каждой точке которого определена скалярная функция

. (8.1)

Функция независимо от ее физического смысла называется потенциалом скалярного поля.

Скалярными полями являются:

– поле температур тела;

– поле плотности заряда на поверхности или в среде,

– поле плотности масс тела.

Основными характеристиками скалярного поля являются: поверхности (линии) уровня, производная по направлению и градиент.

Векторные поля и их основные характеристики

Стационарным векторным полем называется пространство (или его часть – область ), в каждой точке которого определена векторная функция

.

В пространстве векторная функция , , определяется проекциями , , вектора соответственно на координатные оси  ,  ,  :

. (8.9)

Будем считать, что , , являются непрерывно дифференцируемыми функциями координат точки . Тогда векторная функция называется непрерывно дифференцируемой в области .

Векторными полями являются:

– электрическое поле системы электрических зарядов, характеризующееся в каждой точке вектором напряженности;

– магнитное поле, создаваемое электрическим током и характеризующееся в каждой точке вектором магнитной индукции;

– поле тяготения, создаваемое системой масс, характеризующееся в каждой точке вектором силы тяготения;

– поле скоростей потока жидкостей, описываемое в каждой точке вектором скорости.

Основными характеристиками векторного поля являются: векторные линии, поток, дивергенция, циркуляция и вихрь.

56. Градиент.

Градиентом скалярного поля называется вектор , проекциями которого на оси , , являются соответствующие частные производные функции :

.

Из равенства следует, что

.

Из формулы следует, что величина достигает наибольшего значения при =1. Поэтому направление градиента является направлением наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке.

Поскольку

,

то модуль градиента равен наибольшей скорости возрастания потенциала скалярного поля в точке.

57. Поток вектора через поверхность.

Потоком векторного поля через ориентированную поверхность называется число, равное значению поверхностного интеграла 2-го рода:

.

Поток зависит от выбора стороны поверхности (направления вектора ) и обладает всеми свойствами поверхностного интеграла 2-го рода.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен сумме потоков по внешней и внутренней сторонам этой поверхности:

.

В частности, поток определяет поле линейных скоростей стационарно движущейся несжимаемой жидкости через область , ограниченную поверхностью . Если , то жидкости вытекает больше, чем поступает, следовательно, внутри области имеются источники. Если , то внутри области имеются стоки, так как вытекает меньше жидкости, чем поступает.