Танненбаум Е. Архітектура компютера [pdf]

В системах со знаком и с дополнением до единицы есть два представления нуля +0 и -0. Такая ситуация нежелательна. В системе с дополнением до двух тако проблемы нет, поскольку здесь плюс нуль это всегда плюс нуль. Но зато в это системе есть другая особенность. Набор битов, состоящий из 1, за которой следу ют все нули, является дополнением самого себя. В результате ряд положительны и отрицательных чисел несимметричен — существует одно отрицательное числ без соответствующего ему положительного.

Мы считаем это проблемами, поскольку хотим иметь систему кодировки, в ко торой:

1.Существует только одно представление нуля.

2.Количество положительных чисел равно количеству отрицательных.

Дело в том, что любой ряд чисел с равным количеством положительных и отри цательных чисел и только одним нулем содержит нечетное число членов, тогд как т битов предполагают четное число битовых комбинаций. В любом случае буде либо одна лишняя битовая комбинация, либо одной комбинации не будет доста вать. Лишнюю битовую комбинацию можно использовать для обозначения чис ла -0, для большого отрицательного числа или для чего-нибудь еще, но она всегд будет создавать неудобства.

Двоичная арифметика

Ниже приведена таблица сложения для двоичных чисел (рис. А.6).

Рис. А.6. Таблица сложения для двоичных чисел

Сложение двух двоичных чисел начинается с крайнего правого бита. Сумми руются соответствующие биты в первом и втором слагаемом. Перенос совершает ся на одну позицию влево, как и в десятичной арифметике. В арифметике с до полнением до единицы перенос от сложения крайних левых битов прибавляетс к крайнемуправомубиту. Этотпроцесс называется циклическим переносом. В ариф метике с дополнением до двух перенос, полученный в результате сложения край них левых битов, просто отбрасывается. Примеры арифметических действий на двоичными числами показаны на рис. А.7.

674 Приложение А. Двоичные числа

отличается от переноса из знакового бита. В большинстве компьютеров п из знакового бита сохраняется, но перенос в знаковый бит не виден из отве этому обычно вводится специальный бит переполнения.

00000111

Рис. А.7. Сложение в системах с дополнением до единицы и с дополнением до дв

Вопросы и задания

1.Преобразуйте следующие числа в двоичные: 1984, 4000, 8192.

2.Преобразуйте двоичное число 1001101001 в десятичную, восьмерич шестнадцатеричную системы.

3.Какие из следующих цепочек символов являются шестнадцатеричным лами? BED, CAB, DEAD, DECADE, ACCEDED, BAG, DAD.

4.Выразите десятичное число 100 в системах счисления с основаниями от

5.Сколько различных положительных целых чисел можно выразить в рядах, используя числа с основанием системы счисления г?

6.Большинство людей с помощью пальцев на руках могут сосчитать Однако компьютерщики способны на большее. Представим, что к палец соответствует одному двоичному разряду. Пусть вытянутый означает 1, а загнутый — 0. До скольки мы можем сосчитать, использу цы обеих рук? А если рассматривать пальцы на руках и на ногах? П вим, что большой палец левой ноги — это знаковый бит для чисел с нением до двух. Сколько чисел можно выразить таким способом?

7.Выполните следующие вычисления над 8-битными числами с дополн до двух:

00101101 11111111 00000000 11110111

+01101111 +11111111 -11111111 -11110111 8. Выполните те же вычисления в системе с дополнением до единицы.

в. Не произошло ли переполнения.

10.Десятичные числа со знаком, состоящие из п разрядов, можно представи в га+1 разрядах без знака. Положительные числа содержат 0 в крайнем лев разряде. Отрицательные числа получаются путем вычитания каждого ра ряда из 9. Например, отрицательным числом от 014725 будет 985274. Так числа называются числами с дополнением до девяти. Они аналогичны дв ичным числам с дополнениемдо единицы. Выразите следующие числа в ви 3-разрядных чисел в системе с дополнением до девяти: 6, -2, 100, -14, -1,

11.Сформулируйте правило для сложения чисел с дополнением до девяти, затем выполните следующие вычисления:

12.Система с дополнением до десяти аналогична системе с дополнением до дв Отрицательное число в системе с дополнением до десяти получается пут прибавления 1 к соответствующему числу с дополнением до девяти без уч та переноса. По какому правилу происходит сложение в системе с дополн нием до десяти?

13.Составьте таблицы умножения для чисел системы счисления с основанием

14.Перемножьте двоичные числа 0111 и ООН.

15.Напишите программу, которая на входе получает десятичное число со зн ком в виде цепочки ASCII, а на выходе выводит представление этого чис в восьмеричной, шестнадцатеричной и двоичной системе с дополнение до двух.

16.Напишите программу, которая на входе получает 2 цепочки из 32 символ ASCII, содержащие нули и единицы. Каждая цепочка представляет 32-би ное двоичное число в системе с дополнением до двух. На выходе програм должна выдавать их сумму в виде цепочки из 32 символов ASCII, содерж щей нули и единицы.

Приложение Б

Числа с плавающей точкой

Диапазон чисел, используемых при различных вычислениях, очень велик. мер, в астрономические вычисления может включаться масса электрона граммов) и масса Солнца (2x1033 граммов). Диапазон чисел здесь превыша Эти числа можно представить следующим образом:

0000000000000000000000000000000000.000000000000000000000000000

2000000000000000000000000000000000.000000000000000000000000000

При всех вычислениях должны сохраняться 34 разряда слева от десят запятой и 28 разрядов справа от нее. Это даст 62 значимых разряда в резул На бинарном компьютере можно использовать арифметику с многократно ченной точностью, чтобы обеспечить достаточную значимость. Однако мы жем определить массу Солнца с точностью даже до пяти значимых разря говоря уже о 62. В действительности практически невозможно выполнить либо измерения с точностью до 62 знаков. Можно было бы хранить все пр точные результаты с точностью до 62 значимых разрядов, а перед выводом чательных результатов отбрасывать 50 или 60 разрядов, но процессор и тратили бы на это слишком много времени.

Нам нужна такая система для представления чисел, в которой диапазон жаемых чисел не зависит от числа значимых разрядов. В этом приложен расскажем о такой системе. В ее основе лежит экспоненциальное предста чисел, которое применяется в физике, химии и машиностроении.

Принципы представления с плавающей точкой

Числа можно выражать в следующей общепринятой экспоненциальной фо и=/хЮе

где / называется дробью, или мантиссой, а е (это положительное или о тельное целое число) называется экспонентой. Компьютерная версия таког

ставления называется представлением сплавающейточкой. Ниже приведен

Область значений определятся по числу разрядов в экспоненте, а точнос определяется по числу разрядов в мантиссе. Существует несколько способ представления того или иного числа, поэтому одна форма выбирается в качест стандартной. Чтобы изучить свойства такого способа представления, рассмо рим представление R с трехразрядной мантиссой со знаком в диапазоне 0,l<|f| и двухразрядной экспонентой со знаком. Эти числа находятся в диапазоне +0,100x10"" до +0,999х10+", то есть простираются почти на 199 значимых разр дов, хотя для записи числа требуется всего 5 разрядов и 2 знака.

Числа с плавающей точкой можно использовать для моделирования систем действительных чисел в математике, хотя здесь есть несколько существенн различий. На рис. Б.1 представлена ось действительных чисел. Она разбита

7областей:

1.Отрицательные числа меньше -0,999x10".

2.Отрицательные числа от -0,999x10" до -0,100x10"".

3.Отрицательные числа от -0,1ООх 10"" до нуля.

4.Нуль.

5.Положительные числа от 0 до 0,1ООх10"".

6.Положительные числа от 0,100x10"" до 0,999x10".

7.Положительные числа больше 0,999x10".

Рис. Б. 1. Ось действительных чисел разбита на 7 областей

Первое отличие действительных чисел от чисел с плавающей точкой, котор записываются тремя разрядами в мантиссе и двумя разрядами в экспоненте, с стоит в том, что последние нельзя использовать для записи чисел из областей 1 5 и 7. Если в результате арифметической операции получится число из области или 7 (например, 1060х1060=10120), то произойдет ошибка переполнения и резул тат будет неверным. Причина — ограничение области значений чисел в данно представлении. Точно так же нельзя выразить результат из области 3 или 5. Так ситуация называется ошибкой из-за потери значимости. Эта ошибка менее сер езна, чем ошибка переполнения, поскольку часто нуль является вполне удовл творительным приближением для чисел из областей 3 или 5. Остаток счета в бан

6 8 0 Приложение Б. Числа с плавающей точкой

СтандартIEEE754

До 80-х годов каждый производитель имел свой собственный формат чисел вающей точкой. Все они отличались друг от друга. Более того, в некото них арифметические действия выполнялись неправильно, поскольку ариф с плавающей точкой имеет некоторые тонкости, которые не очевидны для ного разработчика аппаратного обеспечения.

Чтобы изменить эту ситуацию, в конце 70-х годов IEEE учредил комисс стандартизации арифметики с плавающей точкой. Целью было не только да можность переносить данные с одного компьютера на другой, но и обеспечи работчиков аппаратного обеспечения заведомо правильной моделью. В ре те получился стандарт IEEE 754 (IEEE, 1985). В настоящее время больш процессоров (в том числе Intel, SPARC и JVM) содержат команды с плав точкой, которые соответствуют этому стандарту. В отличие от многих стан которые представляли собой неудачные компромиссы и мало кого устраивал стандарт неплох, в большей степени благодаря тому, что его изначально р тывал один человек, профессор математики университета Беркли Вильям (William Kahan). Этот стандарт будет описан ниже.

Стандарт определяет три формата: с одинарной точностью (32 бита), с у ной точностью (64 бита) и с повышенной точностью (80 битов). Формат с шенной точностью предназначен для сокращения ошибок округления. Он няется главным образом в арифметических устройствах с плавающей т поэтому мы не будем о нем говорить. В форматах с одинарной и удвоенной стью применяется основание возведения в степень 2 для мантисс и смещенн понента. Форматы представлены на рис. Б.З.

Зн^к ^Экспонента

Рис. Б.З. Форматы для стандарта IEEE с плавающей точкой: одинарная точность (

удвоеннаяточность(б)

682 Приложение Б. Числа с плавающей точкой

52 битами. Неявный бит 1 слева от двоичной запятой превращается в 0. Не лизованные числа можно легко отличить от нормализованных, поскольку у п них не может быть экспоненты 0.

Рис. Б.4. Числовые типы стандарта IEEE

Самое маленькое нормализованное число с одинарной точностью соде в экспоненте и 0 в мантиссе и представляет 1,0х2~126. Самое большое не лизованное число содержит 0 в экспоненте и все единицы в мантиссе и пр ляет примерно 0,9999999х2~127, то есть почти то же самое число. Следует от что это число содержит только 23 бита значимости, а все нормализованны ла — 24 бита.

По мере уменьшения результата при дальнейших вычислениях экспоне прежнему остается равной 0, а первые несколько битов мантиссы превращ в нули, что сокращаетизначение, и числозначимыхбитов мантиссы. Самое м кое ненулевое ненормализованное содержит 1 в крайнем правом бите, а тальные биты равны 0. Экспонента представляет 2~127, а мантисса — 2 23, по значение равно 2~150. Такая схема предусматривает постепенное исчезновен чимых разрядов, а не перескакивает на 0, когда результат нельзя выразить нормализованного числа.

В этой схеме присутствуют 2 нуля, положительный и отрицательный, о ляемые по знаковому биту. Оба имеют экспоненту 0 и мантиссу 0. Здесь то слева от двоичной запятой по умолчанию 0, а не 1.

С переполнением нельзя справиться постепенно. Вместо этого существу циальное представление бесконечности: с экспонентой, содержащей все еди и мантиссой, равной 0. Это число можно использовать в качестве операнд подчиняется обычным математическим правилам для бесконечности. Нап бесконечность и любое число в сумме дают бесконечность. Конечное число лить на бесконечность равно 0. Любое конечное число, разделенное на 0, ст