6.5. Спектральная плотность стационарного случайного процесса

Важным свойством спектральной плотности является ее связь с ковариационной функцией

, (6.41)

. (6.42)

Поскольку R_y(τ) — четная функция, S_y(ω) также оказывается четной и равенства (6.41) и (6.42) представимы в виде прямого и обратного косинус-преобразования Фурье

, (6.43)

. (6.44)

Здесь использовалась формула

.

Полагая в (44) τ = 0, получаем равенство

, (6.45)

показывающее, что функция S_y(ω) дает разложение дисперсии процесса по различным точкам оси частот.

Так как выполнено (6.45), то S_y(ω)—неотрицательная функция аргумента ω (свойство положительной определенности спектра).

Основная трудность разработки схем оценивания спектральной плотности с помощью реализации Y(t), заданной на конечном интервале [0, Т], заключается в следующем.

Формулы оценок среднего и ковариационной функции были записаны по аналогии с соответствующими определениями эргодического стационарного случайного процесса.

В этом случае оценки спектральных плотностей и принятие аналога в качестве оценки S_y(ω) функции

(6.46)

не приводит к положительному результату, ввиду того что дисперсия σ²_H(ω) величины H(ω) не стремится к нулю при Т→∞. Верно приближенное равенство

(6.47)

при любом интервале [0, Т]. Следовательно, оценка (6.46) несостоятельна и не может быть рекомендована в качестве окончательной оценки S(ω). В то же время

(6.48)

т. е. H(ω), как оценка S(ω), асимптотически не смещено. Функция H(ω) называется выборочным спектром.

Окончательную оценку спектральной плотности находят путем сглаживания выборочного спектра. Формула сглаживания в общем случае имеет вид

, (6.49)

где функция W(v) называется спектральным окном. Выбор спектрального окна осуществляется таким образом, чтобы обеспечить состоятельность оценки .

С помощью уравнения свертки из (6.49) имеем

(6.50)

где функция w(τ) называется корреляционным окном (или весовой функцией) и является преобразованием Фурье спектрального окна W(ω)

. (6.51)

Сглаживание (6.49) в частотной области с помощью спектрального окна W(ω) эквивалентно умножению выборочной ковариационной функции на корреляционное окно w(τ) и последующему преобразованию Фурье по формуле (6.50).

Применяются различные корреляционные и спектральные окна.

6.6. Взаимная спектральная плотность

Характер связи двух процессов во временной области описывается функцией взаимной корреляции. Последняя характеризует связь между доминирующими в данном процессе составляющими, однако не дает возможности установить существование или отсутствие связи между другими составляющими.

Для того, чтобы изучать частотную структуру связи между двумя процессами по аналогии со спектральной плотностью, вводится понятие взаимной спектральной плотности случайного процесса.

Так же как спектральная плотность одного процесса представляет преобразование Фурье его автокорреляционной функций, так и взаимная спектральная плотность двух реализаций [x(t)] и [y(t)] представляет собой преобразование Фурье взаимной корреляционной функции

. (6.52)

Поскольку взаимная корреляционная функция не обладает свойством четности, взаимная спектральная плотность есть комплексная величина.

Представим взаимную ковариационную функцию R_xy(τ) в виде суммы четной и нечетной частей

, (6.53)

где

,

. (6.54)

Тогда из (6.52) получаем

, (6.55)

где

(6.56)

называется коспектром (синфазная составляющая), а

(6.57)

-квадратурным спектром (синус-спектр) процессов x(t) и y(t).

Синфазную составляющую можно представить как отношение среднего произведения [х(t)] и [y(t)] в узком интервале частот от ω до Δω к ширине этого интервала, выраженной в единицах частоты. Такое же определение можно дать и квадратурной составляющей при условии, что один из двух процессов сдвинут по отношению к другому по фазе на π/2.

За счет сложения R_xv(—τ) и R_xy(τ) в (6.56) и последующего деления суммы на 2 происходит сглаживание асимметричности функции взаимной корреляции, вследствие чего косинус-спектр и является характеристикой синхронных колебаний.

Наоборот, если мы возьмем разность величин R_xv(—τ) и R_xy(τ) в (6.57), то мы усилим эффект асимметрии функции R_xy(τ), и тогда квадратурный спектр (6.57) характеризует несинхронные колебания, вернее распределение дисперсии по частотам, когда составляющие с частотой ω одного процесса сдвинуты по фазе на 90° относительно составляющих с той же частотой другого процесса. Взаимная спектральная плотность может быть также выражена в показательной форме

, (6.58)

где

, (6.59)

а

(6.60)

есть фазовый спектр.

Величина

(6.61)

называется функцией когерентности.

В случае, если для данного значения частоты = 0, тогда на этой частоте процессы [x(t)] и [y(t)] некоррелированы (некогерентны). Если для всего диапазона частот = 0, тогда процессы [x(t)] и [y(t)] протекают независимо, наоборот, если для всего набора частот = 1, то процессы [x(t)] и [y(t)] полностью когерентны (коррелированы). Таким образом, функция когерентности является характеристикой связи между двумя процессами на различных частотах.

Когерентностью называется величина γ_xy(ω), представляющая собой спектральный коэффициент корреляции и характеризующая линейную статистическую связь спектральных компонент одинаковой частоты. Когерентность, как и функция когерентности меняется в пределах от 0 до 1.

Величина

(6.62)

называется разностью фаз.

Она определяет отставание по фазе процесса [y(t)] от процесса [x(t)] при условии, что θ_xy(ω) положительно от 0 до 180° и отрицательно от 180 до 360°.

Нетрудно видеть, что если γ_xy(ω) = 1, тогда разность фаз процессов постоянная, а если γ_xy(ω) →0, тогда разность фаз неустойчива.

Таким образом, когерентность может служить мерой устойчивости разности фаз.

Функции спектральной плотности часто называют энергетическим спектром или спектром мощности колебаний.