VI. Основы спектрального анализа

6.1. Представление рядом Фурье периодических и непериодических функций

Любая ограниченная периодическая функция Y(t) периода T

Y(t)=Y(t+kT), где k=1, 2, 3,… (6.1)

может быть разложена в ряд Фурье, т.е. представлена в виде

, (6.2)

где , k=1, 2, 3,…

Таким образом, периодическая функция описывается суммой синусоид и косинусоид, частоты которых меняются дискретно с шагом

. (6.3)

Амплитуды синусоид и косинусоид определяются в соответствии с соотношением

, (6.4)

, (6.5)

постоянная составляющая (среднее значение за период) равна

. (6.6)

Набор амплитуд синусоидальных и косинусоидальных гармоник в функции их дискретных частот называется синусно-косинусым линейчатым спектром Фурье представляемого сигнала Y(t).

, (6.7)

,

,

,

где A_k – амплитуда и θ_k – фаза k – й гармоники. Набор амплитуд и фаз гармоник в функции их дискретных частот называется соответственно амплитудным и фазовым линейчатым спектром Фурье представляемого сигнала Y(t).

Приведенные выше формулы удобно преобразовать и представить в комплексной форме

, (6.8)

,

. (6.9)

При этом комплексные амплитуды гармоник S_k связаны с введенными ранее амплитудами и фазами следующим соотношением

.

Набор комплексных амплитуд гармоник в функции их дискретных частот называется комплексным линейчатым спектром Фурье представляемого сигнала Y(t),

Заключение:

1. Периодическая функция взаимнооднозначно представляется линейчатым спектром Фурье. Справедливо и обратное — функция, имеющая линейчатый спектр, периодична.

2. Шаг по частоте линейчатого спектра периодической функции равен величине, обратной периоду 1/T. Самая низкая частота в линейчатом спектре (за исключением нулевой—частоты постоянной составляющей) также равна 1/T, частоты всех представляющих функцию гармоник кратны 1/T.

6.2. Интеграл Фурье

Реальные гидрометеорологические процессы, подвергаемые спектральному анализу, как правило, не являются периодическими функциями. В этом случае не может быть использовано их представление в виде рядов Фурье. Необходимо произвести обобщение анализа Фурье на случай непериодических сигналов.

Непериодическая функция может рассматриваться как предельный случай периодической функции с периодом, стремящимся к бесконечности. Соответствующий предельный переход должен произойти и в представлении функции рядом Фурье. При стремлении Т к бесконечности, частотный интервал 1/T между соседними гармониками («линейками» спектра) уменьшается, становится бесконечно малым и спектральные линии сгущаются, преобразуясь в непрерывное распределение амплитуд по частоте.

Чтобы математически продемонстрировать эти «предельные» рассуждения, можно переписать (6.8) в виде

. (6.10)

В пределе, когда Т→∞, ω_k→ω, 2π/T→dω, TS_k/2π→S(ω), выражение (6.10) стремится к интегралу

. (6.11)

Аналогично помножив обе части в (6.9) TS_k/2π можно переписать в виде

, (6.12)

и далее, когда TS_k/2π→S(ω)

. (6.13)

Функция S(ω) называется непрерывным комплексным спектром Фурье, или преобразованием Фурье функции Y(t).

Физически преобразование (спектр) Фурье S(ω) представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т. е. является функцией плотности. Если Y измеряется в °С и t — в секундах, то размерность S(ω) есть «°С—секунда», или «°С на единицу частоты», т. к. ω имеет размерность частоты, т. е. с^-1.

В (6.11) для компактности записи использована комплексная экспонента, что требует как положительных, так и отрицательных значений аргумента. Физический смысл отрицательных частот состоит лишь в изменении фазы соответствующих спектральных составляющих на противоположные.

Для вещественных функций Y(t) действительная часть преобразования Фурье обладает свойством четности, а мнимая часть — нечетности. Поэтому достаточно рассмотреть спектр S(ω) только для положительных значений ω и распространить ее на отрицательные значения ω.

Функцию (6.11) и ее спектр (6.13) называют парой Фурье. Иногда эти соотношения записываются в виде S(ω) = F{Y(t)} — прямое преобразование Фурье, Y(t)=F^-1{S(ω)}—обратное преобразование Фурье. Замечательным оказывается сходство (симметрия) функциональных операций прямого и обратного преобразования Фурье. В дальнейшем мы увидим, что симметрия прямого и обратного преобразования Фурье обеспечивает симметрию свойств.

Заключение:

1. Непериодический сигнал, определенный на интервале - ∞< t <∞, может быть взаимнооднозначно представлен непрерывным спектром Фурье, выражающим распределение интенсивности сигнала по частоте. Справедливо и обратное— функция, имеющая непрерывный спектр, непериодична.

2. Соотношения (6.11) и (6.13) позволяют перейти от функции к ее спектру и обратно с использованием математически эквивалентных преобразований. Вследствие этого спектр S(ω) имеет свойства, похожие на обращения соответствующих свойств Y(t) и обратно.