11. Оценки характеристик стационарных случайных функций, обладающих эргодическим свойством

Для стационарного случайного процесса или однородного изотропного поля, обладающих эргодическим свойством, как было показано, осреднение по совокупности реа­лизаций можно заменить осреднением по одной реализации, заданной в достаточно большой области изменения аргументов.

Рассмотрим методику определения оценок характеристик слу­чайной функции в этом случае.

Пусть имеется реализация [Y(t)] случайного эргодического стационарного процесса Y(t), заданная на промежутке [0, Т].

При определении оценки данной характеристики по этой реа­лизации, мы допускаем ошибки, которые можно охарактеризо­вать величиной среднеквадратической ошибки и смещением.

Рассмотрим оценки математического ожидания и ковариаци­онной функции по реализации [Y(t)] и ошибки определения этих оценок.

Формулы оценивания величин С_Y и R_Y(τ) получаются из (58) и (59) при фиксировании времени наблюдения Т. Если имеется реализация случайного процесса Y(t), заданная на конечном интервале [0, Т], то в качестве оценок С_Y и R_Y(τ) принимаются величины

(62)

и

(63)

Далее заметим, что формулы (62) и (63) являются эмпирическими, поскольку записаны по аналогии с определением эргодичности процесса и не обосновываются каким-либо статистическим критерием. Выбор критерия, как правило, обусловлен законом распределения случайного процесса. Поскольку распределение часто неизвестно, существует много различных аналогов формулы (63), практически несущественно отличающиеся друг от друга.

При рассмотрении дискретных схем оценивания среднего значения и ковариационной функции будем предполагать, что наблюдения Y_i = Y(t_i) случайного процесса Y(t) с ковариационной функцией R_Y(τ) получены в точках t₀, t₁, ..., t_N-1 (Δt = t_i+1— t_i = const).

11.1. Оценивание среднего значения

Существуют несколько схем оценивания среднего значения. Рассмотрим наиболее употребительные. Если реализация случайной величины [Y(t)] состоит из независимых значений, то дискретная схема оценивания среднего значения С, имеет вид

. (64)

Формула (64) получена в теории метода наименьших квадратов для нахождения оценки среднего независимых случайных величин.

Дисперсия оценки получается равной

. (65)

Если предположить, что процесс является стационарным, т.е. ковариационная функция зависит от τ=|j-i|, то дисперсия оценки (64) имеет вид

. (66)

Из (64), (66), а также учитывая условие эргодичности, следует, что оценка среднего, получаемая с помощью (64), не смещена и состоятельна.

Если наблюдения Y_i статистически зависимы (коррелированны), то дисперсия, соответствующая , не будет минимально возможной, т. е. существуют схемы, отличные от (64), приводящие к оценкам с меньшей дисперсией. В частности, такая схема дается формулой

, (67)

где r_ij— элементы корреляционной матрицы.

Исследования схем (64) и (67) показывают, что дисперсии этих оценок мало отличаются друг от друга при достаточно большом числе наблюдений (N>150).

В большинстве практических приложений для оценивания среднего пользуются схемой (64). Однако, если число наблюдений не велико, то расхождения в результатах оценки при применении схем (64), (67) могут быть значительными.