- •Основные закономерности создания и функционирования информационных процессов. Формы представления информации.
- •Причины вероятностного характера информационных процессов в системах коммуникации, понятия энтропии и количества информации.
- •Элементы статистической обработки данных
- •Понятие абсолютной и относительной величины. Проценты. Практический пример.
- •Понятие закона распределения случайной величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Ряд распределения. Практический пример.
- •Основные характеристики дискретных случайных величин. Написать и пояснить формулы математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Практический пример.
Понятие закона распределения случайной величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Ряд распределения. Практический пример.
Законы распределения случайных величин
Всякое соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения этой СВ.
Изучение законов распределения начнем с дискретных случайных величин.
Ряд распределения. Обозначим дискретную СВ как X, а набор ее отсчетов – как x0, x1,…, xn. Исход случайного эксперимента – событие X=xk характеризуется вероятностью P(X=xk)=pk. Факт равенства чисел X=xk устанавливают путем последовательного сравнения цифр в одноименных разрядах записей X и xk (см. рис. 8.2). Если имеет место ai=bi для всех i=r,r-1,¼,-m, то числа X и xk равны.
Сопоставим каждому отсчету xk случайной величины X вероятность pk. В результате получим закон распределения дискретной СВ X. Самой простой формой записи закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в первой строке которой перечисляются ее отсчеты xk, а во второй – вероятности pk. Такую таблицу {xk,pk} и называют рядом распределения.
Очевидно, что события X=xk, k= образуют полную группу, и поэтому .
Пример. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения для числа попаданий в мишень при трех выстрелах.
Обозначим как Z дискретную случайную величину – число попаданий в мишень. Набор ее значений: z0=0, z1=1, z2=2, z3=3. Опыт укладывается в схему Бернулли. Поэтому вероятность события Z=zk вычисляем по формуле Бернулли:
p0= =0.43=0.064, p1= = ´0.6´0,42=0.288,
Таблица 8.1 |
||||
zk |
0 |
1 |
2 |
3 |
pk |
0.064 |
0.288 |
0.432 |
0.216 |
Теперь составляем табл.8.1 – ряд распределения случайной величины Z.
Основные характеристики дискретных случайных величин. Написать и пояснить формулы математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Практический пример.
Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения той или иной случайной величины описывает ее с вероятностной точки зрения в полной мере. Любые задачи, связанные со случайными величинами, могут быть решены с помощью законов распределения. Однако далеко не все задачи подобного рода требуют для их решения такой тяжелой артиллерии. Бывает достаточно оперировать с компактными характеристиками, отражающими самые существенные особенности случайных величин. Для этих целей и служат числовые характеристики случайных величин. В первую очередь, это математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическое ожидание МО характеризует местоположение случайной величины на числовой оси. Это своего рода центр тяжести всего массива ее отсчетов. Обозначают математическое ожидание случайной величины X как M[X], либо как mx. Математическое ожидание случайной величины X называют еще и ее средним.
Дисперсия случайной величины X характеризует разброс (рассеяние, распределение) ее отсчетов на числовой оси относительно математического ожидания mx этой случайной величины. Обозначают дисперсию случайной величины X как D[X] или как Dx.
Пусть математическое ожидание mx случайной величины X задано. Тогда дисперсия случайной величины вычисляется так:
D[X]M[X2](mx)2, (8.8)
а именно, дисперсия СВ равна разности между ее средним квадратом и квадратом ее среднего.
Центрированной случайной величиной XЦ, соответствующей X, называется отклонение X от ее математического ожидания mx:
XЦXmx.
Геометрически переход от X к XЦ означает перенос начала координат на числовой оси в точку mx. Иногда удобнее бывает вычислять дисперсию по формуле
D[X]DxM[(Xmx)2M[(XЦ)2], (8.9)
то есть дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата соответствующей ей центрированной случайной величины XЦ.
Отметим существенный факт. Если размерность математического ожидания mx совпадает с размерностью самой случайной величины X, то дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Удобнее было бы оперировать с числовыми характеристиками одной размерности. Для этого из дисперсии извлекают корень квадратный. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением СКО случайной величины X и обозначают как x:
x . (8.10)
Размерность СКО совпадает с размерностью случайной величины.
Рассмотрим числовые характеристики дискретных случайных величин.
МО дискретной случайной величины вычисляют так:
M[X]mxx0p0x1p1xnpn . (8.11)
Как видим, математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенная сумма ее отсчетов, когда каждый отсчет xk умножается на свою вероятность pk (на свой вес), и полученные произведения суммируются.
Дисперсия дискретной СВ по формуле (8.8) вычисляется так:
Dx . (8.12)
Таблица 8.2 |
||||
qk |
1 |
2 |
5 |
7 |
pk |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.1 |
Таблица 8.3 |
||||
rk |
3 |
3 |
7 |
12 |
pk |
0.2 |
0.5 |
0.2 |
0.1 |
На рис. 8.7 показано размещение отсчетов случайных величин Q и R на числовой прямой. Сначала по формуле (8.11) вычисляем математические ожидания для случайных величин Q и R:
mq10.220.350.470.13.5 (см. рис. 8.7),
mr30.230.570.2120.13.5 (см. рис. 8.7).
Как оказалось, Q и R имеют одинаковые средние: mqmr3.5. Но легко заметить (рис. 8.7), что отсчеты R относительно mr разбросаны сильнее, чем отсчеты Q относительно mq.
По формулам (8.12) и (8.10) вычислим дисперсии и СКО для случайных величин Q и R:
Dq120.2220.3520.4720.13.524.05,
q2.01 (рис. 8.7),
Dr(3)20.2320.5720.21220.13.5218.25,
r4.27 (рис. 8.7).
Как видим, большему разбросу отсчетов случайной величины отвечают большие дисперсия и СКО.
Пример. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины Z (табл. 8.1).
Действуя по формуле (8.11), находим МО для дискретной СВ Z:
M[z]mz00.06410.28820.43230.2161.8.
Значит, центром тяжести для точек z{0, 1, 2, 3} из (табл. 8.1) будет точка mz1.8.
Действуем по формулам (8.10) и (8.10):
Dz020.064120.288220.432320.2161.820.72.
z0.85.