3. Лекция № 10 Частотные критерии устойчивости

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на построении частотных характеристик. Запишем знаменатель передаточной функции.

Подставляя в него получаем.

Кривую, которая описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении от 0 до называют кривой Михайлова.

1. Критерий Михайлова

Для того чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь при a₀>0 с действительно положительной полуоси, при возрастании последовательно обходила n квадрантов, в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис. 8-1).

Рисунок 10‑6 Годограф Михайлова

Пример: Характеристический полином.

Составим таблицу

w	0	0<w<1	1	1<w<	w>
X(w)	2	>0	1	>0	<0
Y(w)	0	>0	0	<0	<0

Построим кривую Михайлова. В пределах квадранта всей кривой Михайлова на устойчивость не влияет, и она строится приблизительно. Система неустойчива, т.к. кривая не охватывает последовательно 1, 2, и 3 квадрант.

Рисунок 10‑7 – Годограф Михайлова

Пример. Характеристический многочлен

Для имеем

,

Составим таблицу

w	0	0<w<		<w<1	1	w>1
X(w)	0,5	>0	0	<0	-0,5	<0
Y(w)	0	>0	0,35	>0		<0

Построим кривую Михайлова

Рисунок 10‑8 Годограф Михайлова

Кривая последовательно охватывает все 3 квадранта, следовательно, система будет устойчивой.

Алгебраические критерии устойчивости и критерий Михайлова применимы для исследования замкнутой и разомкнутой систем.

Есть критерий, который предназначен для исследования лишь замкнутых систем. Этот критерий был сформулирован Найквистом.

Критерий Найквиста

Пусть l из корней разомкнутой системы находится в правой полуплоскости, а остальные n-l в левой полуплоскости. Тогда, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика её разомкнутой системы с ростом w от 0 до охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки в (l /2) раз.

В частности, если разомкнутая система устойчива (и, следовательно, l=0), то для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика её разомкнутой системы охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении l/2 раза.

Пример: частотная передаточная функция её разомкнутой системы

Составим таблицу.

w	0	w>0
U(w)	-2	<0
V(w)	0	<10

Рисунок 10‑9 Годограф Найквиста

Амплитудно – фазовая частотная характеристика разомкнутой системы охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении ½ раза. Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет 1 корень, т.е. l=1, поэтому замкнутая система устойчива.

Примеры:

Варианты:

a0	a1	a2	a3
1	1	2	2
3	2	1	2